algebra

Capítulo 1: Álgebra Matricial


1.1 INTRODUCCIÓN

En muchos análisis se supone que las variables que intervienen están relacionadas mediante un conjunto de ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una notación concisa y clara para la formulación y resolución de tales problemas, muchos de los cuales serían casi imposibles de plantear con la notación algebraica ordinaria.
Eneste capítulo, se definen los vectores y las matrices, así como las operaciones correspondientes. Se consideran tipos especiales de matrices, la transpuesta de una matriz, las matrices subdivididas y el determinante de una matriz. También se tratan y aplican a la resolución de ecuaciones lineales simultáneas, la dependencia lineal de un conjunto de vectores, y el rango y la inversa de una matriz.Así mismo, se define e ilustra la diferenciación vectorial. Por último, en el Capítulo 2 se discuten otras aplicaciones del álgebra matricial.


1.2 DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es una disposición (o “arreglo”) rectangular de números en la forma



Las letras representan números reales, que son los elementos de la matriz. Nótese que designa al elemento en la i-ésima fila y laj-ésima columna de la matriz A; la matriz A se denota también a veces por () o por {}. Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz m x n (“m por n”), o bien, una matriz de orden m x n. Si m = n, se expresa que la matriz es cuadrada. Cuando han de realizarse varias operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subíndices, por ejemplo, , o bien, .


EJEMPLO


Sedice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes son también iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Observemos que, por definición, las matrices que son de diferente orden no pueden ser iguales.

EJEMPLO

Si



DEFINICIÓN DE VECTOR (EN ÁLGEBRA MATRICIAL)

Una matriz que consta de una sola columna, es decir, una matriz m x l seconoce como vector columna, y se expresa como



Las letras son números reales: los componentes del vector; es el i-ésimo componente del vector u. Un vector columna que tiene m filas se dice que es un vector de m componentes, o que es m-dimensional.
Análogamente, una matriz que contiene una sola fila, es decir, una matriz 1 x n, se dice que es un vector fila y se expresa como

v = v =Las letras son números reales: los componentes del vector; es el j-ésimo componente del vector v. Un vector fila con n columnas se dice que es un vector de n componentes, o que es n-dimensional.


EJEMPLO

es una matriz 2 x 1, o sea, un vector columna de 2 dimensiones (o bidimensional)

es una matriz 5 x 1, o sea, un vector columna de 5 dimensiones (o pentadimensional)

es unamatriz 1 x 3, o sea, un vector fila de 3 dimensiones (o tridimensional)

es una matriz 1 x 4, o sea, un vector fila de 4 dimensiones (o tetradimensional)


Dos vectores fila que tienen el mismo número de columnas, o dos vectores columna que tienen el mismo número de filas, se dice que son iguales solamente si todos los elementos correspondientes son también iguales, es decir, si los vectoresson idénticos.

EJEMPLO

u = v = w = x =
u = w, pero u ≠ v, u ≠ x, y v ≠ w, v ≠ x, y w ≠ x.

NOTA: Con frecuencia es útil considerar a una matriz como compuesta de una serie de vectores fila o de vectores columna; por ejemplo, la matriz

se puede considerar constituida por los dos vectores columna

o bien. compuesta de los tres vectores fila


1.3 OPERACIONES CONMATRICES

Operaciones análogas a las de adición. Sustracción, multiplicación y división de números reales se pueden definir para las matrices. Puesto que una matriz es una disposición de números reales, en lugar de un solo número real, algunas propiedades de las operaciones para los números reales no tienen equivalencia en las operaciones análogas con matrices; ejemplos específicos se dan en las...