Algebra

Consulta de Algebra Lineal
Estudiante:
Docente:
Curso: 2do “B”
Fecha:
Tema: TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES
Definición:Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal L de V en W es una función que asigna a cada vector u en V un único vector L(u) en W tal que:
a) L(u + v) =L(u)+ L(v) cualesquiera sean u y v en V.
b) L(ku) = kL(u), para cada u en V y cada escalar k.
Observe que, en (1) de la definición anterior, el signo + en u + v del ladoizquierdo de la ecuación se refiere a la operación de suma en V, mientras que el signo + en L(u) + L(v) del lado derecho de la ecuación se refiere a la operación de sumaen W. De manera análoga, en (2) el producto escalar ku está en V, mientras que el producto escalar kL(u) está en W.
Indicaremos que L transforma V en W (aunque no seauna transformación lineal), así
L : V → W.
Puede suceder que V y W sean iguales. En este caso la transformación lineal L : V →V también se denomina operador lineal sobreV.
Teoremas:
I) Si L: V → W es una transformación lineal, entonces L(c1v1 + c2v2 + • • • + ckvk) = c1L(v1) + c2L(v2)+ • • • + ckL(vk) para cualesquiera vectores v1,v2, . . . , vk en V, y cualesquiera escalares c1, c2, . . . , ck.
II) Sea L: V → W una transformación lineal.
Entonces:
a. L(0V) = 0W, donde 0V y 0W son los vectorescero en V y W, respectivamente.
b. (L(u − v) = L(u) − L(v).
III) Sea L: V →W una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n en un espacio vectorial W.Además, sea S = {v1, v2, . . . , vn} una base de V. Si u es cualquier vector en V, entonces L(u) queda completamente determinada por {L(v1), L(v2), . . . , L(vn)}.