Algebra

UNIDAD ACADEMICA DE MATEMATICAS
CURSO DE ALGEBRA LINEAL
MAESTRIA EN MATEMATICA EDUCATIVA
ESCOLARIZADO


MATRICES

Definición 1: Una matriz es un arreglo rectangular de m x n números acomodados en m renglones y n columnas. Se dice que es de tamaño [pic] .
Una matriz se denota por [pic] donde [pic] se llama elemento ij-èsimo de la matriz, el primer subíndice indica la fila donde seencuentra el elemento y el segundo subíndice indica la columna.

[pic]

En el caso en que el número de filas y columnas coincidan; es decir, [pic] se dice que la matriz es una matriz cuadrada.

Definición 2: Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus correspondientes componentes son iguales
Ejemplo: [pic]

Definición 3: La diagonal de una matriz la conforman los elementos [pic]para los cuales [pic].
Definición 4: La transpuesta de una matriz [pic] es aquella matriz que resulta de intercambiar las filas de la matriz A por columnas y se denota por [pic]; es decir, [pic].
Ejemplo: La transpuesta de la matriz [pic] de [pic] es la matriz [pic] de [pic].

Existen algunas matrices que son importantes y se requieren en todos los demás temas del programa por lo cual sedefiniran a continuación

Definición 5: MATRIZ CERO O MATRIZ NULA: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero; es decir, [pic] para toda i y toda j. Se denota por O.
Ejemplo: La matriz nula de [pic] es [pic]

Definición 6: MATRIZ IDENTIDAD: Es la matriz cuyos elementos por encima y por debajo de la diagonal son cero; es decir, [pic] para toda [pic] y los elementos de la diagonalson 1; es decir, [pic] para toda [pic]. Esta matriz se denota por I.
Ejemplo: La matriz identidad de [pic] es [pic]

Definición 7: MATRIZ DIAGONAL: Una matriz A de [pic] se dice diagonal si los elementos por encima y por debajo de la diagonal son cero; es decir, [pic] para toda [pic]. Este tipo de matrices se puede representar por [pic].

Definición 8: MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Es aquellamatriz cuyos elementos por debajo de la diagonal son cero; es decir, [pic] para toda [pic]. En general se puede representar por [pic]

Ejercicio 1: Definir matriz triangular inferior y escribirla en forma general.

Definición 9: MATRIZ SIMETRICA: Una matriz se dice simétrica si ella es igual a su transpuesta; es decir, [pic]. En general una matriz simétrica tiene la forma [pic]

Ejercicio2: Determine todos los valores de s y t para que las siguientes matrices sean simétricas
[pic] [pic]


Definición 10: MATRIZ ANTISIMETRICA: Es aquella matriz que es igual a menos su transpuesta; es decir, [pic].

Ejercicio 3: Escriba la forma general de una matriz antisimétrica.



OPERACIONES CON MATRICES

SUMA y RESTA: Sean [pic] y [pic] matrices de [pic] la suma y resta de estasmatrices se define como la matriz C de [pic] dada por [pic] donde [pic].

EJEMPLO 1: La compañía Acrosonic produce cuatro tipos distintos de altavoces: modelo A, modelo B, modelo C y modelo D; en tres lugares diferentes. En el mes de mayo la producción fue la siguiente: la planta I tuvo una producción de 320 altavoces modelo A, 280 altavoces modelo B, 460 altavoces modelo C y 280 altavocesmodelo D. La planta II tuvo una producción de 480, 360, 580 y 0 altavoces modelos A, B, C y D respectivamente finalmente la planta III tuvo una producción de 540, 420, 200 y 880 altavoces modelos A, B, C y D respectivamente. En el mes de junio la producción fue la siguiente: la planta I tuvo una producción de 210 altavoces modelo A, 180 altavoces modelo B, 330 altavoces modelo C y 180 altavoces modeloD. La planta II tuvo una producción de 400, 300, 450 y 40 altavoces modelos A, B, C y D respectivamente finalmente la planta III tuvo una producción de 420, 280, 180 y 740 altavoces modelos A, B, C y D respectivamente. Use las matrices para organizar los datos de la producción mensual de la compañía y las operaciones con matrices para obtener la producción total de los dos meses.


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