Algebra

Instituto Tecnológico de Veracruz

Carrera: Ingeniería Mecatrónica

Asignatura: Álgebra Lineal

Profesor: Santiago Almeida González

Tema: Unidad 4 Espacios Vectoriales

Vo. Bo.
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H. Veracruz, Ver a Lunes 11 de Junio de 2012

Índice
Unidad 4 Espacios vectoriales. 4.1 Definición de espacio vectorial.4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. 4.3 Combinación lineal. Independencia lineal. 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. 4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram Schmidt.Bibliografía |Pág. 3 3 3 6 8 10 11 |

Unidad 4 Espacios Vectoriales
4.1 Definición de espacio vectorial.

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicaciónpor escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Un subespacio vectorial esel subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.
Sean (V,+,K,*) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.
* S es subespacio vectorial de V si (S,+,K,*) es espacio vectorial en sí mismo, siendo + y * las mismas operaciones definidas en V.
Criterio de subespacio
El criterio para la verificación de que Ses subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío que cumple con estas tres condiciones:
1) El Punto Origen pertenece al conjunto. Ej: (0,0,0)
2) ) Sea K un número real y {v} un vector que perteneceal conjunto entonces K.v también pertenece al conjunto.
3) 3) Sean {u} y {v} dos vectores que pertenecen al conjunto entonces u+v también pertenece al conjunto.
Si estos tres axiomas se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2,……….vn
Si se puede expresar dela forma
W = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 +……………….+ kn vn
donde k1 , k2 k3 ………kn son escalares.
Este conjunto de vectores se denota como
gen S ó gen ={ v1, v2 ,v3 …. vn }

Ejemplo:
1.-Todo vector v={a, b, c } en R3 se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos
i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)
v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck
2.- Considerarlos vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R3. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.

Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:
W= k1 u + k2 v
1. 

(9,2,7)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)


(9,2,7)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )



2. Igualando


9= k1 +6k2
2= 2k1 +4k2
7 = -k1 +2k2

3. Resolviendoel sistema k1 = -3 k2 = 2

4. La respuesta es: W= -3 u +3 v
(4,-1,8)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)
(4,-1,8)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )

Igualando

4= k1 +6k2
-1= 2k1 +4k2
8= -k1 +2k2

1. Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.

Ejercicio
1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v1 v2,v3}...