Algebra

1. Verdadero o falso? Determine si cada una de las expresiones es verdadera o falsa. Si la expresi´n es verdadera, proporcione una raz´n o cite una expresi´n adecuada a partir del texto.
o
o
o
Sila expresi´n es falsa, proponga un ejemplo que demuestre que la expresi´n no es cierta en
o
o
todos los casos o cite una expresi´n adecuada a partir del texto.
o
a) Un sistema lineal de unaecuaci´n en dos variables siempre es consistente.
o
b) Un sistema de dos ecuaciones en tres variables siempre es consistente.
u
c) Si un sistema lineal es consistente, entonces tiene un n´mero infinitode soluciones.
Respuesta:
a) Verdadero. Justificaci´n: Suponga que se tiene el sistema lineal:
o
ax + by = c

(1)

donde a, b y c son n´meros reales no nulos, y x e y son las inc´gnitas adeterminar.
u
o
Entonces, asign´ndole valores arbitrarios a una de las inc´gnitas, es posible determinar
a
o
el valor de la otra. Por ejemplo, asumiendo que x puede tomar cualquier valor, y seobtiene resolviendo:
c − ax
y=
(2)
b
lo cual demuestra que el sistema tiene infinitas soluciones y, por lo tanto, (1) siempre es
consistente.
Observaciones:
N´tese que en la ecuaci´n (2) es posibleobtener el valor de y, para un x dado, pues
o
o
estamos suponiendo que b ̸= 0. Si ´ste no fuese el caso, el sistema nunca tendr´ dos
e
ıa
inc´gnitas.
o
Geom´tricamente, la ecuaci´n (1)corresponde a una recta, que como es conocido,
e
o
consta de infinitos puntos. Lo que equivale a decir que el sistema (1) tiene infinitas
soluciones.
b) Falso. Considere el sistema siguiente:
8
x + 2y+ z = 6
3
3x + 6y + 8z = 4

(3)

Entonces, dado que se tiene 2 ecuaciones con tres inc´gnitas, podemos suponer sin
o
p´rdida de generalidad que z es la variable independiente y, por lo tanto,puede tomar
e
cualquier valor. De aqu´ suponiendo fijado el valor de z, resulta el sistema de dos ecuaı,
ciones con dos inc´gnitas:
o
8
x + 2y = 6 − z
(4)
3
3x + 6y = 4 − 8z
Utilizando el...