Algebra

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 8
8.- Determinantes
8.1 Inversión
Una inversión es una permutación de enteros cuando un entero mayor precede a uno menor. En la permutación 4312 4 precede a 3, a 1 y a 2; además, 3 precede a 1 y a 2, en esa sucesión hay cinco inversiones.
Teoremas sobre inversiones
El intercambio de dos elementos adyacentes en una permutación de enteros incrementa o disminuye enuno el número de inversiones.
Se llama determinante de orden n, y es el modo de escribir abreviadamente el polinomio homogéneo que se obtiene al efectuar los pasos siguientes:
El símbolo:
D=[■(a_11&⋯&a_1n@⋮&⋱&⋮@a_n1&⋯&a_nn )]

Formar todos los productos posibles tomando como factores un solo elemento de cada línea y de cada columna de D.
Ordenar los factores en cada producto de tal modoque los segundos subíndices (los de columnas) estén en orden numérico, y anteponer a cada factor el signo positivo o negativo según el número de inversiones de los primeros subíndices (los de línea) sea un número par o impar.
Efectuar la suma algebraica de todos los productos obtenidos en 1 y 2.
La suma, en la definición anterior, se llama desarrollo o valor de D. debe notarse que en D el primersubíndice de cada elemento indica la línea en que esta el elemento y el segundo subíndice indica la columna.
Pasos para desarrollo de D
Se escriben las n! permutaciones de 1, 2, 3, …., n
Se escriben los n! productos, cada uno de los cuales contiene n elementos de D, y todos los cuales tienen como primeros subíndices una de las permutaciones obtenidas en el paso 1 y como segundos subíndiceslos enteros 1, 2, 3,….., n en su orden natural.
Se pone a cada producto signo positivo o sigo negativo, según que el número de inversiones de los primeros subíndices sea par o impar.

Teorema sobre el intercambio de líneas y columnas
Si en un determinante se intercambian las líneas por las columnas, el valor del determinante no se altera.
El teorema se demostrara para un determinante decuarto orden, el método es general y se puede aplicar, con pequeñas variaciones a determinantes de cualquier orden.
Se consideran los dos determinantes D1 y D2 en los que las columnas y las líneas de D1 aparecen como líneas y columnas, respectivamente, de D2.

SEMANA 13

8.2 Determinantes de orden n
El determinante de n – 1 líneas que se obtienen de un determinante de orden n suprimiendo la líneay la columna que contiene un elemento dado, se llama menor de ese elemento por ejemplo
El desarrollo de un determinante se puede obtener mediante los pasos siguientes:
Se multiplica cada elemento de una línea o de una columna por su menor y el producto se precede del signo positivo o del signo negativo según sea pa o impar a la suma de los números de orden de la línea y de la columna en queesta el elemento.
Se efectúa la suma algebraica de esos productos.
Se repite el procedimiento para cada determinante que se obtenga, hasta que la suma indicada tenga solo determinantes de tercer orden.
Se desarrollan estos determinantes de tercer orden, y se efectúa la suma algebraica de los números que se obtenga.
Desarrollar:

|■(■( 1& 2@ 2& - 1)&■( 4&3@ 2&1)@■(-3& 3@ 2&5)&■(-3&2@-2&4))|

Se desarrolla de acuerdo con los elementos de las primera columna y se aplica el procedimiento de los pasos mencionados anteriormente:


1|■(-1&2&1@3&-3&2@-5&-2&4)|-2|■(2&4&3@3&-3&2@5&-2&4)|+(-3)|■(2&4&3@-1&2&1@5&-2&4)|-2|■(2&4&3@-1&2&1@3&-3&2)|

=1(12+20-6+15-4-24)-2(-24+40-18+45+8-48)
-3(16+20+6-30+4+16)-2(8+12+9-18+6+8)
=1(13)-2(3)-3(32)-2(25)=-139
Propiedades de los determinantes
Si todos los elementos de una columna o todos los elementos de una línea son iguales a cero, el valor del determinante es cero.
Si se intercambia una con otras dos líneas o dos columnas en un determinante, se cambia el signo del determinante.
Si los elementos de dos líneas o de dos columnas son idénticos, el valor del determinante es...