Algebra

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
UNIVERSIDAD “ALONSO DE OJEDA”









Transformaciones Lineales

Fabiola ÁvilaJosephnevick Mavarez
Carlos Reyes
Alvin Guillen

Transformación Lineal
La definición de transformación lineal dice que todo espacio vectorial en V y W se puede hacer transformación lineal sicumplen con los axiomas de la distribución bajo la suma T(u + v) = T(u) + T(v) y la multiplicación por un escalar T(k٠u)= k٠T(u). También son llamadas operadores lineales.

Cumpliendo con lo anterior latransformada lineal tiene sus propiedades que son:
1) T(0) = 0
2) T(-v) = - T(v)
3) T(v-u) = T(v)-T(u)
Sí v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ... + cn T(vn).
Latransformada lineal es una función vectorial de variable vectorial w = f (v).
Donde:

* El espacio vectorial “v” es la variable independiente
* El espacio vectorial “w” es la variable dependienteSi V y W son espacios vectoriales y F es una función que asocia un vector único en W para cada vector de V, se dice entonces que F aplica V en W y se escribe: F: V → W
Además si se escribe w = f (v)se dice que w es la imagen de v bajo f.

Ejemplo:
Dados las transformaciones para los puntos (2,-1); (-1,1) y conociendo que la función es transformación lineal, encuentre la expresión de lafunción.
F(2,-1) = (-1, 1, 2)
F(-1,1) = (2, 0, 1)

Como se sabe que la función es transformación lineal entonces los vectores (2,-1) y (-1,1) forman una base de R2 y por lo tanto generan al espacio,luego:

(x, y) = k1 (2,-1) + k2 (-1,1)
(x, y) =(2k1, – k1) + (– k2, k2)
(x, y) =(2k1– k2 , – k1 + k2)
De donde se obtiene:
x = 2k1– k2
y = – k1 + k2
Resolviendo el sistema de ecuaciones para K1y k2:
k1 = x + y
k2 = x + 2y

Planteando la transformación para el vector general:
F(x, y) = F[ k1 (2,-1) + k2 (-1,1) ]
F(x, y) = F[ k1 (2,-1) ] + F[ k2 (-1,1) ]
F(x, y) = k1 F(2,-1) + k2...