algebra

Matriz diagonalizable
En álgebra lineal, una matriz cuadrada "A" se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal. En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma . En donde "P" es una matriz invertible cuyos vectores columna son vectores propiosde A, y D es una matriz diagonal formada porlos valores propios de A.
Si la matriz A es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendo escribirse como . El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable. En este caso P está formada por una baseortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales. La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de  son los vectores columnas de P.
Índice
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1 Definición
1.1 Endomorfismo diagonalizable
2 Aplicaciones
3 Ejemplos
3.1 Diagonalización de una matriz
3.2 Potencias de una matriz diagonalizable
3.3 Función de una matriz diagonalizable
3.4 Matrices nodiagonalizables
4 Teoremas sobre matrices diagonalizables
5 Referencias
5.1 Bibliografía
Definición[editar]
Sea  una matriz cuadrada con valores en un cuerpo , se dice que la matriz  es diagonalizable si, y sólo si, A se puede descomponer de la forma:

Donde:
 es una matriz diagonal cuya diagonal principal está formada por los elementos de , apareciendo cada uno tantas veces como indiquesu multiplicidad algebraica, siendo  el espectro de , es decir, el conjunto de autovalores de la matriz :

 es la matriz cuyas columnas son los vectores que constituyen una base del subespacio propio asociado a cada  siguiendo el orden establecido en D, esto es, los vectores que forman el núcleo de la matriz :

Endomorfismo diagonalizable[editar]
Un endomorfismo de espaciovectorial (aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo) se dice diagonalizable por similaridad (o simplemente diagonalizable) si existe una base en la que su matriz asociada sea una matriz diagonal. Sin embargo la diagonalización no está asegurada, es decir no es posible decir que todo endomorfismo sea diagonalizable. La importancia de la diagonalización nos motiva a obtener una base en la que la matrizasociada a un endomorfismo no diagonalizable sea más simple aunque no diagonal. Para ello se seguirán las mismas técnicas que para diagonalización, usando la teoría sobre autovalores y autovectores (también llamados valores y vectores propios o en inglés eigenvalues y eigenvectors). Recordemos que dado un operador lineal  se dice que W subespacio de V es T-invariante si  se tiene que Aplicaciones[editar]
Diagonalizar una matriz es muy importante en el Álgebra Lineal, pues se cumple lo siguiente:

facilitando mucho el cálculo de las potencias de , dado que siendo  una matriz diagonal, el cálculo de su p-ésima potencia es muy sencillo:

Ejemplos[editar]
Diagonalización de una matriz[editar]
Artículo principal: Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices
Una matriz esdiagonalizable si es cuadrada y el número de valores propios es igual al de filas o columnas de la matriz. "Diagonalizar una matriz" se reduce a encontrar sus vectores y valores propios. Tomemos la matriz:



Se aplica el teorema de Cayley-Hamilton:

Por ejemplo, vamos a calcular  para ver si se cumple:

y veamos que es diagonalizable:
Esta matriz tiene los valores propios: 

Así  es unamatriz 2 por 2 con 2 valores propios diferentes, entonces se dice que es diagonizable.Si queremos diagonalizar  necesitamos calcular los correspondientes vectores propios. Ellos son:

Uno podría verificar fácilmente esto mediante:


Ahora,  es la matriz invertible con los vectores propios de  como columnas:
 con inversa 
Hallemos ahora la matriz diagonal, usando esta matriz  como sigue:...