algebra

Combinaci´
on lineal de vectores
Definimos el concepto de combinaci´
on lineal de un conjunto finito S de vectores y el subespacio L[S]. Tambi´en damos ejemplos de aplicaci´
on.
Definici´
on 1.Sea E un espacio vectorial sobre K y sean v1 , v2 , . . . , vm
vectores de E. Se dice que x ∈ E es combinaci´on lineal de los vectores
v1 , v2 , . . . , vm si y s´
olo si existen escalares λ1 , λ2, . . . , λm ∈ K tales que x =
λ1 v1 + λ2 + . . . + λm vm .
Teorema 1. Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K y sea S =
{v1 , v2 , . . . , vm } ⊂ E. Denotamos por L[S] o bien por < S > alconjunto
de todos los vectores de E que son combinaci´on lineal de los vectores de S.
Entonces
(a) L[S] es subespacio vectorial de E. (b) L[S] es el menor de todos los
subespacios vectoriales de Eque contienen a S.
Nota A L[S] se le llama subespacio generado por S.
1. En el espacio vectorial real usual R2 estudiar si el vector x = (−14, 8) es
combinaci´
on lineal de los vectores v1 = (−1,7), v2 = (4, 2).
Resoluci´
on Expresemos (−14, 8) = λ1 (−1, 7) + λ2 (4, 2). Esta igualdad equivale al sistema
−λ1 + 4λ2 = −14
7λ1 + 2λ2 = 8
Escalonando, obtenemos que el sistema es compatible(concretamente que
tiene como u
´nica soluci´
on λ1 = 2, λ2 = −3). En consecuencia x es combinaci´
on lineal de los vectores v1 , v2 .
2. En el espacio vectorial real usual R2×2 de las matricescuadradas de orden
2 estudiar si A es combinaci´on lineal de B y C siendo
A=

1 1
,
1 1

1 0
,
0 2

B=

Resoluci´
on Expresemos
1

C=

2 3
0 1

2 3
1 0
1 1
+ λ2
= λ1
0 1
0 21 1
Esta igualdad equivale al sistema

λ1 + 2λ2 = 1



3λ2 = 1
0=1



2λ1 + λ2 = 1
Claramente el sistema no es compatible, en consecuencia A no es combinaci´
on lineal de B y C.3. En el espacio vectorial real F(R, R) de las funciones de R en R demostrar
que
(a) cos2 x es combinaci´
on lineal de 1 y cos 2x.
(b) (cos(x + 1))(cos(x − 1)) es combinaci´on lineal de 1 y...