Algebra

Base
Es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.
Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S(lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Todo espacio vectorial tiene, al menos, una base, y cualquier vector se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

Dada una base

y un vector    , éste se puede escribir de la siguiente forma:

Losnumeros      reciben el nombre de coordenadas del vector      en la base    .

Ejemplo

El vector      expresado en la base    , siendo      y    , es:

de donde:

Las coordenadas del vector      en la base      son   -2 y 6.

En cualquier conjunto de 2 vectores linealmente independientes forman una base.
En cualquier conjunto de 3 vectores linealmente independientes forman una base.Dimensión
Es el número de vectores en la base de V.  Si este número es finito, entonces V es un espacio vectorial de  dimensión finita. De otra manera, V se llama el espacio vectorial de dimensión infinita.  Si V = {0}, entonces V es de dimensión cero.

Propiedades de la dimensión.
1. Significado físico de la dimensión: el espaciotiene dimensión 3, los planos dimensión 2,
las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El sub-espacio {0} es el único de dimensión 0.
2. La dimensión de un sub-espacio en ℜn
, coincide con el número de parámetros libres en
Su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)
3. Si S y T son sub-espacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T.
Además, si se dala igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.
4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del sub-espacio que generan.

Es decir: si v1, v2,. . . vn generan un cierto sub-espacio S, y si el rango de dicho conjunto es r,
Entonces dim S = r.
Espacio RN
Un vector o vector fila es una parejaordenada (x, y) donde x e y son números reales. El conjunto de todos los vectores

(X, y) x R, y R

Se denomina R2.

Sobre un eje de coordenadas se representan por flechas con origen en (0,0) y extremo en (x,y). Para distinguir a los vectores y diferenciarlos de las coordenadas de sus extremos, que se denotan de la misma manera, usaremos la siguiente notación

v = (x, y), denota alvector y V (x, y), denota el punto extremo

Por comodidad tipográfica denominaremos al vector v , de aquí en adelante por v.
Y Y V(x, y)
V X x

En el conjunto R2, definimos las operaciones suma de vectores, resta de vectores, y multiplicación por un número real., así:

Suma: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2),definimos u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
Resta: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos u - v = (u1 - v1, u2 - v2)

Multiplicación por un número real:

Multiplicación: Si v = (v1, v2), y c R, definimos c v = (c v1, c v2)

Ejemplos

u = (2, 1) y v = (1, 3), u + v = (2 + 1, 1 + 3) = (3,4)
u - V = (2 - 1, 1 - 3) = (1,-2)
v - U = (1 - 2, 3 - 1) = (-1,2)3u = (3×2,3×1) = (6,3)
-u = -1(2,1) = (-2,-1)
(1/3) v = 1/3 (1,3) = (1/3,1)

La resta es realmente una suma, ya que por ejemplo,
u – V = u + (- v) = (2, 1) + (-1,-3) = (2-1,1-3) = (1, -2)

Aceptaremos los siguientes principios o propiedades de las operaciones así definidas:


u + v = v + u Propiedad conmutativa...