Algebra

Diferencia de cuadrados
Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta.
Al estudiar los productos notables teníamos que:

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:

Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de susbases.
Pasos:
1. Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
2. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).
Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
Las características son las siguientes:
Son dos términos, separados por el signo ( + ) cuando sea suma, y por el signo ( -) cuando sea una diferencia.
Los coeficientes deberán tener raíz cúbica exacta.
Los exponentes deberán ser divisibles entre 3.
El procedimiento que se sigue para su factorización es: 
“Se abren dos paréntesis, el primero es para un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos dados, separados por el mismo signo; el segundo paréntesis es para un trinomio que se forma con el cuadradodel primer término del binomio, menos ó más el primero por el segundo términos del binomio (dependiendo si es suma o resta), y por último, más el cuadrado del segundo término”.
EJEMPLOS: A) factoriza: 27x3 + 1
Solución: 

Con las raíces cúbicas se forma un binomio: ( 3x, + 1)
De acuerdo al binomio, se forma el trinomio: Cuadrado del primero: 9x2
Menos el primero por el segundo: – 3x
Más elcuadrado del segundo: 1 
La factorización es: 27x3 + 1 = ( 3x + 1 ) ( 9x2 - 3x + 1 ) 

B) factoriza: 8a3b6 – m3 
Solución: 

Con las raíces cúbicas se forma un binomio: ( 2ab2 – m)
De acuerdo al binomio, se forma el trinomio: Cuadrado del primero: 4a2b4
Más el primero por el segundo: + 2ab2m 
Más el cuadrado del segundo: m2 
La factorización es: 8a3b6 – m3 = ( 2ab2 - m ) ( 4a2b4 + 2ab2m + m2 )
NOTA: Sepuede observar que cuando es suma de cubos, el segundo término del trinomio es negativo; mientras que, cuando es una diferencia de cubos, todos los términos del trinomio son positivos.
Trinomio de la forma  
Regla práctica para factorizar este tipo de trinomios:
*El trinomio se descompone en dos factores (binomios) cuyo primer término es la raíz cuadrada del término cuadrático del trinomio.
*En elprimer factor, después de  se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de  se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio

*Si los dos factores tienen signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo productosea el valor absoluto del tercer término. Estos números son los segundos términos de los binomios.
, donde   y 
*Si los dos factores binomios tienen en medio signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos dos números es el segundo término delprimer binomio, y el menor el segundo término del segundo binomio.
 donde  y 
 
Ejemplos
1. Factoriza el trinomio.
Solución
Descomponemos el trinomio en dos factores cuyo primer término es la raíz cuadrada de.

Observamos que el signo del segundo término del trinomio es positivo, y que al multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término también es positivo; entonces:Posteriormente buscamos dos números que sumados nos den el valor absoluto del segundo término (14) y multiplicados nos den el valor absoluto del tercer término (40), obteniendo así la solución al problema:


Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer factor.

Se dejan indicadas las multiplicaciones de los dos primeros términos, realizando la del tercer término.

Observamos que  y que ,...