Algebra

Álgebra lineal

































UNIDAD 1

ECUACIONES LINEALES Y MATRICES


Objetivos:

Al finalizar la unidad, el alumno:

. Identificará un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
. Distinguirá los tipos de solución de un sistema de ecuaciones lineales.
. Identificará qué es una matriz y cuales son sus elementos.
.Realizará operaciones básicas entre matrices y comprenderá sus propiedades
. Conocerá y aplicará los métodos de Gauss, de Gauss-Jordan para resolver sistemas de
ecuaciones lineales.
. Identificará la matriz inversa multiplicativa de una matriz y sus propiedades.
. Usará el método de Gauss- Jordan para encontrar la matriz inversa multiplicativa.1. Sistemas de ecuaciones lineales.

Una ecuación es la igualdad entre dos expresiones que contienen una o varias incógnitas la cual se verifica solo para algunos valores de estas. Si la igualdad se verifica para cualquier valor numérico de las incógnitas se trata de una identidad

Una Ecuación lineal en las incógnitas [pic] es una ecuación de la forma:

[pic]

Donde [pic]son constantes y [pic] no son todas cero.

Resalta que en la expresión, cada incógnita está elevada a la potencia uno exclusivamente.

Ejemplo 1

[pic]

Es una ecuación lineal con dos incógnitas [pic].

Una solución de una ecuación lineal es una sucesión de números [pic] tales que si se sustituye [pic] en la ecuación se satisface la igualdad.

Resolver una ecuación linealsignifica encontrar todas sus soluciones; al conjunto de soluciones se le llama conjunto solución


Ejemplo 2

Dada la ecuación [pic],

consideremos [pic].
Al sustituir [pic] en la ecuación tenemos:

[pic].

Como se satisface la igualdad, entonces [pic] es una solución de la ecuación.

Ahora si tomamos [pic] , sustituimos en la ecuación y realizamos las operaciones:
[pic][pic] como no se satisface la igualdad

[pic] no es una solución de la ecuación.


Con frecuencia deseamos resolver varias ecuaciones lineales al mismo tiempo. Una colección finita de ecuaciones lineales en las variables [pic] se llama sistema de ecuaciones lineales. Problemas en varias áreas del conocimiento, como pueden ser aquellos sobre el flujo eléctrico en los circuitos, problemas deflujo de tránsito, de abastecimiento en acueductos, problemas de mezclas de sustancias, análisis de insumo y producción en economía o administración, entre otros, pueden plantearse y resolverse mediante sistemas de ecuaciones lineales.


Un Sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas es de la forma:

[pic] (1)

y se dice que es un sistema de tamaño mxn.Ejemplo 3
[pic]

Es un sistema de ecuaciones lineales con dos ecuaciones y tres incógnitas, por lo cual es de tamaño 2x3

Usualmente cuando el número de incógnitas es uno, dos, tres y hasta cuatro, en vez de numerarlas se usan, para denotarlas, las letras [pic] respectivamente


Ejemplo 4

[pic]

Es un sistema de ecuaciones lineales con cuatro ecuaciones y tres incógnitas, por locual es un sistema de tamaño 4x3.


Una solución del sistema lineal (1) es una sucesión de números [pic] con la propiedad de que cuando se sustituye [pic] en cada una de las ecuaciones del sistema, éstas se satisfacen.

Ejemplo 5
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones
[pic]

Verifiquemos que [pic] es una solución del sistema.
Sustituimos estos valores en cadaecuación

[pic]

Vemos que se satisfacen las dos ecuaciones, por lo tanto [pic] es solución del sistema de ecuaciones.

Si consideramos un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:
[pic]

cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una recta en el plano XY.

Se puede dar una interpretación geométrica del conjunto solución de un sistema de ecuaciones de [pic].

Se tienen...