Algebra

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL DEL ESTADO ARAGUA
“FEDERICO BRITO FIGUEROA”
LA VICTORIA - EDO. ARAGUA




















Estudiante:
Javier Ortega
CI: 30.185.590
La Victoria 16 Agosto 2015
Tema IV Espacios Vectoriales
Espacio Vectorial
Es una estructura algebraica creada a partir de unconjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Sub Espacio Vectorial
Es elsubconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V...
Sea  un espacio vectorial sobre  y  no vacío,  es un sub espacio vectorial de  si:




Combinaciones Lineales
Es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí. En particular, la combinación linealde un conjunto de vectores se trata de un vector de la forma:


Independencia Lineal
Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, enR3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que eltercero es la suma de los dos primeros.
Dependencia Lineal
Un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente.
Bases
es un conjunto B del espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:
Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.
Los elementosde B forman un sistema linealmente independiente.
Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador V).
Dimensiones
Se define como el número de elementos o cardinal de una base de dicho espacio. Dado que para todo espacio de Hilbert de dimensión infinita podemos distinguir entre bases de Hilbert y de Hamel, podemos definir ladimensión vectorial ordinaria y la dimensión vectorial de Hilbert. Se tiene que para cualquier espacio vectorial V, la relación entre dimensión de Hammel y dimensión de Hilbert es la siguiente:


Bases Ortogonales
Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando los vectores que la forman son perpendiculares dos a dos.
Bases Ortonormales
Una base de un espacio vectorial es ortonormal cuando es unabase ortogonal y sus vectores son unitarios.
Proceso de Gram- Schmidt
El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo sub espacio vectorial.
Este algoritmo recibe su nombre de losmatemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.
El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales (Espacio Euclideo no normalizado) de cualquier base no euclidea.

Coordenadas
si B es una base para un espacio vectorial V, entonces todo vector x en V puede expresarse en una y solo una forma como C.L. de los vectores de B. Los coeficientes de la combinación lineal son las coordenadasde x en la base B.
Sea  una base del espacio vectorial V y x un vector en B tal que:

entonces los escalares  se denominan coordenadas de x con respecto a la base B.
El vector coordenado de x con respecto a B es el vector de  denotado por:
 

Cambio de Base
El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con...