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Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial en ℝn (01)

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ÁLGEBRA DE MATRICES
Definición de Matriz
Una matriz es un conjunto de valores dispuestos rectangularmente en filas y columnas. Se
llama matriz de orden nxm a un conjunto de nm números colocados en n filas y m
columnas de la siguiente forma:

 a11

 a21
M

A =  ai1
M

a
 n1

a12

... a1 j

a22

... a2 jM
ai 2

M
... ai j

M

M

an 2 ... anj

... a1m 

... a2 m 
M

... aim 
M

... anm 


Comúnmente las matrices se denotan por letras mayúsculas. Se le llama orden (o tamaño)
de una matriz al número de filas y columnas que contiene y se denota por nxm (n filas y m
columnas). El orden (o tamaño) de la matriz puede acompañar a la letra que nombra a la
matriz parabrindar mayor información: Anxm ó Anm ó An,m.
Ejemplo:

 2 1 4
Sean A = 
 − 1 0 5




0 0 


1 ¾

y B =  ½ - ¾  . El orden de la matriz A es 2x3 y el


1 1 



orden de la matriz B es 4x2. Puede escribirse A2x3 y B4x2.

A cada número aij se le llama elemento (o término o componente) de la matriz. Entonces el
elemento ij de la matriz es el valor queestá situado en la fila i y la columna j de la matriz.
Ejemplo:

 2 1 4
En la matriz A = 
 −1 0 π  ,



el elemento 1,1 es 2;
el elemento 1,2 es 1;
el elemento 1,3 es 4;
el elemento 2,1 es -1;

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el elemento 2,2 es 0;
el elemento 2,3 es π.

Notación:

A = (aij)nxm

donde 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m

Al conjunto detodas las matrices de orden nxm se le denota Mnxm.
Ejemplo:

 5 3


 0 1 0
 1 0 y B = 
Sean A =
 − 6 0 8 .

 7 0




Entonces:

A ∉ M2x3
B ∈ M2x3
A ∈ M3x2

Tipos particulares de matrices.
Es conveniente distinguir algunas características de las matrices, así se definirá:
Matriz fila (vector fila). Es una matriz que posee una única fila.
Ejemplos: (1 9 1);(7 -1 -2 1 3); (0 0)
Nota: En ocasiones, para mayor claridad en la escritura, los valores de una matriz
fila se separan por comas, por ejemplo, (1, 9, 1).
Matriz columna (vector columna). Es una matriz que posee una única columna.

 1

Ejemplos:  9  ;
 1


 0

 2


Matriz nula. Es una matriz cuyos elementos son todos ceros. Se denota por 0.

Ejemplo:

 0 0 002x3 = 
 0 0 0




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Matriz transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A es la matriz que se obtiene al
t
intercambiar las filas y las columnas de A. Se denota por A (o también A').

5 3 


 1 0  entonces At =
Ejemplo: Si A =
 7 ¼



5 1 7 

 3 0 ¼




Propiedades
1. Si una matrizA es de orden nxm entonces su transpuesta At es de orden mxn.
2. (At)t = A
Matriz cuadrada. Se llama matriz cuadrada a aquella que tiene igual número de filas y
columnas.

1 0 2


5 1 3
Ejemplos: A = 
1 0 4



,

 4 5
B= 
 4 4




Si una matriz cuadrada posee n filas y n columnas se puede simplificar el lenguaje diciendo
que es de orden n, en lugar denxn.
Diagonal principal y secundaria de una matriz cuadrada.
Sea A = (aij)nxm una matriz cuadrada de orden n.
La diagonal principal la conforman los elementos aij tales que i = j.

 a11 ... a1n 


M
M
A=
 a ... a 
nn 
 n1
La diagonal secundaria la conforman los elementos aij tales que j = n + 1 − i.

 a11 ... a1n 


M
M
A= 
 a ... a 
nn 
 n1
¿La diagonalprincipal y la diagonal secundaria poseen elementos comunes?

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Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la
diagonal principal son ceros. O sea, aij = 0 para todo i ≠ j

Ejemplos:

 4 0 0


 0 0
 0 1 0 y B = 
A=
 0 0  son diagonales.

 0 0 8





C=

 5 0 0...