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´ ´ ECUACIONES DIFERENCIALES Y METODOS NUMERICOS ( 2o GITT). CURSO 2011-12. EJERCICIOS TEMA 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias. 1. Determina si las siguientes funciones y relaciones son soluci´n de las correspondientes ecuaciones o diferenciales: (a) x = cos t (c) (e) dx + tx = sen2t dt 2xy y − ln y = x2 + 1 , y = y−1 dy y = at + ekt , = ky + a(1 − kt) dt , (b) (d) x2 + y 2 = 4 , y = ax2 + bx, y = x y

y =

(f ) x3 + 3xy 2 = 1 ,

y + ax x dy 2xy + x2 + y 2 = 0 dx

2. Encuentra una soluci´n de la ecuaci´n 2tx = x de la forma x(t) = tm para alg´n m ∈ R. o o u 3. Encuentra una ecuaci´n diferencial para la que la familia uniparam´trica de funciones x(t) = (t2 − o e C)e3t sea su soluci´n general. o 4. Dada la ecuaci´n x = −2x + t2 + 4t + 7: o a) Encuentra una soluci´n particularp2 (t) en forma de polinomio de segundo grado. o b) Halla su soluci´n general realizando previamente el cambio de variable y = x − p2 (t). o c) Calcula la soluci´n particular del PVI x = −2x + t2 + 4t + 7 con x(1) = 0. o 5. Demuestra que si x1 y x2 son ambas soluciones de la EDO x + p(t)x = 0 entonces x1 /x2 es constante. 6. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial: (a) y = 3x2 − cos 2x,y(0) = 2 √ (c) s = 3t + 1, s(1) = 2 (b) y = 3xe−x , y(0) = −1

(d) x = t ln t, x(1) = −1

7. La desintegraci´n de una sustancia radioactiva se realiza a velocidad proporcional a la cantidad de o sustancia presente. El carbono-14 es una sustancia radioactiva que se usa para determinar la edad de un f´sil. Por ejemplo, los restos de un humanoide han sido encontrados en una caverna junto o conlos restos de un campamento. Los arque´logos creen que la edad de los restos del humanoide o es la misma que la del campamento. Se determina que s´lo queda el 2 % de la cantidad original de o carbono-14 en la madera quemada del campamento. Estimar la edad de los restos del humanoide sabiendo que la vida media (tiempo en que la sustancia se ha desintegrado al 50 %) del carbono-14 es de 5600 a˜os. n8. Supongamos que en un dep´sito contiene 1000 litros de salmuera, agua con sal disuelta. Se est´ ino a troduciendo en el dep´sito otra soluci´n de salmuera, con una concentraci´n de 5 gramos de sal o o o por litro de agua, a una velocidad de 10 litros por minuto. La soluci´n en el tanque se mezcla o homog´neamente y se bombea al exterior a la misma velocidad de 10 litros por minuto. e a) Escribeuna EDO que describa como evoluciona la cantidad de sal en el dep´sito. o b) Si incialmente hab´ 10 kilogramos de sal en el dep´sito ¿Cu´ntos habr´ al cabo de 6 horas? ıa o a a c) ¿Qu´ ocurrir´ a largo plazo con la cantidad de sal en el dep´sito? e a o 9. Explica a cuales de los siguientes problemas de valor inicial se les puede aplicar el teorema de existencia y unicidad, y di, en cada caso, quese puede concluir del teorema: (a) x = t2 + x2 , x(0) = 0 (c) x = tg x, x(0) =
π 2

(b)

x = tg x, x( π ) = 0 2

(d) x = ln(tx), x(1) = 2

10. Dibuja el campo de pendientes de la ecuaci´n x = x(1 − x/4) en el dominio [0, 8] × [0, 8] en puntos o de coordenadas enteras. A partir de ´l intenta dibujar algunas soluciones de la ecuaci´n. e o

11. Si situamos una patata con temperaturauniforme T0 en un horno a temperatura constante Te , el modelo de transferencia de calor dT = −c(T − Te ) dt nos da la variaci´n de T (t), la temperatura de la patata en el instante t, siendo c una constante de o proporcionalidad positiva denominada coeficiente de p´rdida de calor. e a) Estudia el comportamiento asint´tico del modelo. o b) Resuelve el PVI asociado y comprueba los resultados del apartadoanterior. 12. Construye la l´ ınea de fases y estudia el comportamiento asint´tico de las soluciones de las siguientes o ecuaciones aut´nomas: o (a) x = 0 (d) (g) (j) x = 2x2 − x3 x = 2 sen x x = x sen x (b) (e) x = 2,1 x(1 − x) x = 1 − x2 (c) x = 1 + x2

(f ) x = x − x3 + 0,2 (i) x = 1 − sen x b = −1,1, −1, −0,1, 0 y 0,1

(h) x = 1 − 2 sen x (k)

x = x(1 − b(ex − 1)), para

13. Estudia,...