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La diferencial de una función
[La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este concepto, que desde un punto de vista moderno nunca estuvo muyclaramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de varios siglos. Losindivisibles, y más tarde la diferencial de una función, se representaban como verdaderos infinitésimos, como algo de magnitud constante extremadamente pequeña, que sin embargo no era cero. Ladefinición dada en esta sección es la aceptada en el análisis moderno. De acuerdo con esta definición, la diferencial es una magnitud finita para cada incrementox, y al mismo tiempo proporcionala x. La otra propiedad fundamental de la diferencial, el carácter de su diferencia respecto a y, sólo puede reconocerse 'en movimiento', por así decirlo: si consideramos unincremento x que se aproxima a cero (que sea un infinitésimo), entonces la diferencia entre dy e y será tan pequeña como se desee incluso comparada con x.
Esta sustitución de los incrementos pequeños de lafunción por la diferencial forma la base de la mayoría de las aplicaciones del análisis infinitesimal al estudio de la naturaleza. El lector verá esto de un modo particularmente claro en elcaso de las ecuaciones diferenciales. (Aleksandrov, 1, 152)]
[Dada la función y = f(x) se define:
(a) |   dx, leído diferencial de x, por la relación dx = x. |
(b) |   dy,leído diferencial de y, por la relación dy = f'(x)dx. |
La diferencial de una variable independiente es, por definición, el incremento que experimenta; sin embargo, la diferencial de una variable dependienteo función no es igual a su incremento. (ver fig. 23-1)

Fig. 23-1
Si dx = x es relativamente pequeño con respecto a x, el valor de y se puede obtener aproximadamente hallando dy.
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