Análisis combinatorio

ANALISIS COMBINATORIO

El análisis combinatorio estudia los arreglos o grupos que se pueden formar con los elementos de un conjunto.

Antes de desarrollar el tema, es necesario recordar la definición de un factorial de un número natural y algunas de sus propiedades

FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
Factorial de un número “n” es el producto de los “n” primeros números naturales.
Notación:[pic]

Definición por convención 0! = 1

Propiedades de los Factoriales:
1. El factorial de un número entero negativo no existe.
2. Factorial de un número entero positivo es igual al producto del número con el factorial del número que le antecede. Es decir:
n! = n (n – 1)!
n! = n (n – 1) (n – 2) (n – 3)!
3. Factorial de “uno” es “uno”, es decir: 1! = 1
4. Si a!= b! , entonces: a = b

Ejemplo:

A = [pic]
A = [pic]
A =[pic]

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO

Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos casos.

PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si un evento “A” ocurre de “m” maneras diferentes y otro evento “B” ocurre de “n” maneras diferentes, entonces el evento A óB, es decir, no simultáneamente, ocurre de “m+n” maneras diferentes.

Observación:
Este principio se aplica cuando los eventos son mutuamente excluyentes. Es decir, ocurre el evento “A” o el evento “B”, pero no ambos a la vez; este principio se puede generalizar para más de dos eventos.

Ejemplos:

a) Pedro desea viajar de Trujillo a Lima y tiene a su disposición tres líneas aéreas y 7líneas terrestres ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje Pedro?
Solución
Por el Principio de Adición, tenemos:
3 + 7 = 10 maneras distintas.

b) Jenny desea comprar un libro de Matemática Básica que se vende en 5 lugares distintos de feria de libros y en 3 librerías diferentes del centro histórico. ¿De cuántas maneras puede obtener el libro?
SoluciónUsando el Principio de Adición, se tiene:
5 + 3 = 8.
Es decir, se tiene 8 maneras diferentes de comprar el libro.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. (Teorema fundamental del Análisis Combinatorio)

Si un evento “A” ocurre de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” ocurre de “n” maneras, entonces el evento “A” seguido de “B”, ocurre de: “m ∙ n”maneras.

Observación:
En este principio la ocurrencia es uno a continuación del otro, es decir, ocurre el evento “A” y luego ocurre el evento “B”. Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.
Ejemplos:
a) María tiene tres pantalones diferentes y siete blusas distintas. ¿De cuántas maneras distintas se puede vestir María?
Solución

Usando el principio de multiplicación,tenemos:
3 x 7 = 21 maneras diferentes de vestirse.

b) Julio puede viajar de Trujillo a Chimbote de 2 formas y de Chimbote a Lima de 3 formas ¿De cuántas maneras distintas puede ir de Trujillo a Lima pasando por Chimbote y sin retroceder?
Solución
Usando el principio de multiplicación, tenemos: 2 x 3 = 6 maneras diferentes

PERMUTACIÓN

Es un arreglo u ordenación que se puedenformar con todos los elementos disponibles de un conjunto. La característica principal es que importa el orden de sus elementos.

Existen las siguientes permutaciones: Permutaciones lineales y circulares

A. PERMUTACIONES LINEALES
Son cuando las ordenaciones se dan en línea recta y pueden ser sin repetición y con repetición.

Permutaciones Lineales sin Repetición

Se da cuando todossus elementos considerados son diferentes y se calcula como sigue
[pic]

Ejemplos:

a) ¿Cuántas ordenaciones pueden formarse con los elementos del conjunto A={a, b, c}?

Solución
abc acb bca bac cab cba

Usando fórmula se tiene:

[pic] Formas

b) ¿De cuántas maneras pueden sentarse cuatro personas en cuatro asientos uno a continuación de otro?...