Análisis de regresión lineal simple

Análisis de Regresión Lineal Simple

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; esdecir, "regresaban" al promedio. La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágil y con unsoporte teórico por parte de la matemática y la estadística mucho más extenso.

1. Definición

Un modelo de regresión define una relación de dependencia. Al estar en conocimiento de dos variables relacionadas (o concomitantes), el experimentador busca un medio para expresar las relaciones funcionales entre ambas variables. Es decir, buscará establecer una función de tipo matemático que permitaexpresar el tipo y características de dicha relación, así mismo es posible que se interese en conocer el grado de precisión que se tiene al predecir el valor de una variable teniendo el valor de la variable relacionada. Esos objetivos pueden alcanzarse a través del análisis de regresión; en este sentido puede decirse que el análisis de regresión busca la mejor relación funcional entre unavariable dependiente y una o más variables independientes.

Supongamos que nos interesa conocer la relación que hay entre el precio de una vivienda y determinadas características de la misma. Empezaremos considerando el caso más sencillo, una única característica, la superficie. Se trata de cuantificar la influencia que tiene el tamaño de una vivienda en la determinación de su precio de venta medianteun modelo de regresión lineal simple. Veamos:

Datos

Precio de venta y superficie hábil de viviendas unifamiliares en la comunidad universitaria de San Diego en 1990.

price = Precio de venta en miles de dólares (Rango 199.9 - 505)
sqft = Pies cuadrados de área habitable (Rango 1065 - 3000)

Tabla 1: Conjunto de datos incluidos House prices and sqft

Gráfico 1: Diagrama de dispersiónprecio-superficie de viviendas

Un modelo sencillo que recoge una relación lineal causa-efecto entre superficie y precio es Pi = α + βF2i. Esto quiere decir que el precio de una vivienda depende ´únicamente de su superficie y, por lo tanto, dos viviendas de igual tamaño deben tener exactamente el mismo precio. Esta hipótesis es poco realista porque diferencias en otras características, como laorientación de la casa o su estado de conservación, también influyen en su precio.

Debemos, por tanto, especificar un modelo econométrico que recoge esta característica: el modelo de regresión lineal simple.

Elementos del modelo de regresión simple

El modelo simple relaciona dos variables de forma lineal,

Yi = α + βXi + ui i = 1, . . . ,N (2.1)

Donde:

* Y es la variable aexplicar, variable dependiente o endógena, es decir, la variable que estamos interesados en explicar.

* X es la variable explicativa, variable independiente o exógena.
* La ordenada α y la pendiente β del modelo son los coeficientes de la regresión. Si definimos K como el número de coeficientes desconocidos a estimar, en el modelo de regresión simple tenemos K = 2 coeficientes a estimar.* u es el término de error, variable aleatoria o perturbación.

* El subíndice i denota observación. En general, el subíndice i será empleado cuando la muestra contenga datos de sección cruzada y el subíndice t cuando tengamos observaciones correspondientes a series temporales, aunque esto no es de especial relevancia.

* N es el tamaño muestral, número de observaciones disponibles...