Análisis De Residuales (Regresión Lineal Simple)

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ANÁLISIS DE RESIDUALES (Comprobación de la adecuación del modelo)
María del Carmen Montoya Landeros

Las principales premisas que se han hecho hasta ahora para estudiar el análisis de regresión son las siguientes: 1. La relación entre la respuesta Y y la variable regresora es lineal, al menos de forma aproximada 2. El término de error " tiene media cero 3. El término de error " tienevarianza constante 4. Los errores no están correlacionados (son independientes) 5. Los errores tienen distribución normal "i N (0; 2 ) Tales premisas se nombrar como los supuestos de: 1) Linealidad 2) Normalidad 3) Homocedasticidad (varianza constante) 4) Independencia Utilizamos las premisas anteriores para probar hipótesis y para estimar intervalos. Siempre se deben hacer análisis para examinar laadecuación del modelo que se haya desarrollado en forma tentativa. Las grandes violaciones a las premisas pueden producir un modelo inestable, en el sentido de que una muestra distinta podría conducir a un modelo totalmente diferente y obtener conclusiones opuestas. En general no se pueden detectar desviaciones respecto a las premisas examinando los estadísticos de resumen como los estadísticos t;F o r2 : Estas son propiedades "globales" del modelo, y como tal no aseguran la adecuación del mismo. Los métodos para diagnosticar las violaciones de las premisas básicas de regresión se basan principalmente en el estudio de los residuales del modelo. Se tiene que mencionar que si se tienen pocos datos, es difícil decidir si se cumplen o no los supuestos!!!

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1.1

Análisis de ResidualesComo ya se había de…nido, los residuales son: ei = yi yi b

siendo yi una observación y yi su valor ajustado correspondiente. b

Como se puede considerar que un residual es la desviación entre los datos y el ajuste, también es una medida de la variabilidad de la variable de respuesta que no explica el modelo de regresión. También conviene imaginar que los residuales son los valoresrealizados, u observados, de los errores del modelo, por lo que toda desviación de las premisas de los errores se debe re‡ ejar en los residuales. El análisis de los residuales es una forma e…caz de descubrir diversos tipos de inadecuación del modelo. Como se verá más adelante, una forma muy efectiva de investigar si se cumplen las premisas es gra…car los residuales.

Para ejempli…car la comprobación delos supuestos consideremos 4 grupos de datos (tomados de Profra. Amparo Baíllo) que se ajustan a un mismo modelo de regresión y = 3 + 0:5x; tienen la misma correlación y el ANOVA muestra una b regresión lineal signi…cativa: Datos 1 x y 10 8.04 8 6.95 13 7.58 9 8.81 11 8.33 14 9.96 6 7.24 4 4.26 12 10.84 7 4.82 5 5.68 Datos 2 x y 10 9.14 8 8.14 13 8.74 9 8.77 11 9.26 14 8.10 6 6.13 4 3.10 12 9.137 7.26 5 4.74 Datos 3 x y 10 7.46 8 6.77 13 12.74 9 7.11 11 7.81 14 8.84 6 6.08 4 5.39 12 8.15 7 6.42 5 5.73 Datos 4 x y 10 6.58 8 5.76 13 7.71 9 8.84 11 8.47 14 7.04 6 5.25 4 12.50 12 5.56 7 7.91 5 6.89

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1.1.1

El supuesto de Linealidad

Este supuesto establece que, en el rango de valores observados, el valor esperado de la respuesta Y es una función lineal de la variableindependiente X: La primera manera de veri…car si las dos variables tienen una relación lineal es mediante el diagrama de dispersión. Podemos completar el análisis de la linealidad mediante un grá…co en el que se comparan los residuales (ei ) y los valores predichos (bi ); si la relación no fuera lineal habría alguna con…guración y mani…esta. Para los datos mencionados, ya se observó en los diagramas dedispersión si era posible considerar una relación lineal entre X y Y ; falta ver cómo se mostrarían sus grá…cas de ei vs yi : b

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Si no se veri…ca el supuesto de linealidad entonces estaremos usando un modelo inadecuado para describir el valor esperado de Y en función de X: Esto conduce a malas predicciones. Una solución habitual a la ausencia de linealidad es transformar la variable X...