ANA LISIS DE ESTABILIDAD CD
Páginas: 7 (1569 palabras)
Publicado: 7 de junio de 2015
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE
SISTEMAS EN LAZO CERRADO
EN EL PLANO z
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Análisis de estabilidad de un sistema en lazo
cerrado.
El Objetivo es analizar la estabilidad de los sistemas
de control en tiempo discreto lineales e invariantes
en el tiempo de una entrada y una salida, para
poder determinar los valores de los parámetros que
aseguran un comportamientoadecuado.
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
La estabilidad puede determinarse por
1. la localización de polos en lazo cerrado o
2. por las raíces de la ecuación característica
C ( z)
G( z)
=
R ( z ) 1 + GH ( z )
ecuación característica
P ( z ) = 1 + GH ( z ) = 0
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Para que el sistema sea estable, los polos de lazo
cerrado y las raíces de la ecuacióncaracterística deben
presentarse en el plano z dentro del circulo unitario,
fuera de este hace inestable al sistema.
Si un polo simple se presenta en z = 1, entonces el
sistema se convierte en críticamente estable. O si un
par de polos complejos conjugados se presentan sobre
el circulo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple
en lazo cerrado sobre el circulo unitario hace al
sistema inestable.Los ceros en lazo cerrado no afectan a la estabilidad
absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en
cualquier parte del plano z.
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Métodos para probar estabilidad absoluta
Directamente de la ecuación característica P(z)=0, sin
raíces
•Prueba de estabilidad de Jury
Revela la existencia de cualquier raíz
inestable, pero, no da localizaciones, ni
efectosde cambios en los parámetros
sobre la estabilidad del sistema.
•Transformación Bilineal con el criterio de Routh
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Prueba de estabilidad de Jury
Al aplicarla a una ecuación característica dada P(z)=0, construimos la
tabla con los coeficientes de P(z).
n
P ( z ) = a0 z + a1 z
n −1
+ .... + a n −1 z + a n
Renglón
z
z
z
z
....
z
z
z
1
an-1
a1
bn-2b1
cn-3
c1
an-2
a2
bn-3
b2
cn-4
c2
a n-3
a3
bn-4
b3
c n-5
c3
....
2
3
4
5
6
an
a0
bn-1
b0
cn-2
c0
a2
an-2
b1
bn-2
c0
cn-2
a1
an-1
b0
bn-1
a0
an
…
…
2n-5
2n-4
2n-3
p3
p0
q2
p2
p1
q1
p1
p2
q0
p0
p3
Control Digital
0
1
2
3
....
....
....
....
....
n-2
n-1
n
Dr. Luis E. Garza C.
Renglón
z
z
z
z
....
z
z
n-1
z
1
2
an
a0
an-1
a1
an-2
a2
an-3
a3
....
....
a2an-2
a1
an-1
a0
an
3
4
bn-1
bn-2
bn-3
bn-4
b1
b0
b1
cn-3
b2
cn-4
b3
cn-5
....
bn-2
c0
bn-1
5
b0
c n-2
....
....
6
c0
c1
c2
c3
....
cn-2
…
…
2n-5
2n-4
2n-3
p3
p0
q2
p2
p1
q1
p1
p2
q0
p0
p3
an
bk =
a0
0
1
2
3
n
an −1− k
, k = 0,1,2,…,n-1
ak +1
ck =
bn −1 bn − 2 − k
b0
bk +1
, k = 0,1,2,…,n-2
qk =
Control Digital
n-2
p3
p2− k
p0
pk +1
, k = 0,1,2
Dr. LuisE. Garza C.
Criterio de estabilidad mediante la prueba de Jury.
P ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + .... + a n −1 z + a n
Donde a0 > 0, es estable, si todas las condiciones se
satisfacen: 1.
a
n
2.
P( z ) z =1 > 0
3.
4.
bn −1
> 0
P( z ) z = −1
< 0
> b0
Para n par
Para n impar
cn − 2 > c0
M
q2 > q0
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Ejemplo 1:
Construir la tabla de estabilidadde Jury para la siguiente
ecuación característica:
P ( z ) = a0 z 4 + a1 z 3 + a 2 z 2 + a3 z + a 4
Donde a0 > 0, se escriben las condiciones de estabilidad
1.
a 4 < a0
2.
P(1) = a0 + a1 + a 2 + a3 + a4 > 0
3.
P(−1) = a0 − a1 + a2 − a3 + a4 > 0,
4.
b3 > b0
c 2 > c0
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Renglón
0
z
1
z
2
z
a
0
a0
a
4
a1
a3
a0
a4
a2
a0
a2
1
a4
2
a0Control Digital
4
z
a4
a4
3
4
5
3
z
b2
b1
c2
c1
= b2
= b1
a3
a1
b3
b0
b3
b0
b3
b0
= b3
= b0
b0
b3
b1
b2
= c2
= c1
= c0
c0
Dr. Luis E. Garza C.
Ejemplo 2:
Examinar la estabilidad de la siguiente ecuación
característica.
P( z ) = z 4 − 1.2 z 3 + 0.07 z 2 + 0.3 z − 0.08
a0 =1, a1 =-1.2, a2 =0.07, a3 =0.3, a4 =-0.08
1.
a 4 < a0
2.
P(1) = 1 − 1.2 + 0.07 + 0.3 − 0.08 = 0.09 > 0
3....
SISTEMAS EN LAZO CERRADO
EN EL PLANO z
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Análisis de estabilidad de un sistema en lazo
cerrado.
El Objetivo es analizar la estabilidad de los sistemas
de control en tiempo discreto lineales e invariantes
en el tiempo de una entrada y una salida, para
poder determinar los valores de los parámetros que
aseguran un comportamientoadecuado.
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
La estabilidad puede determinarse por
1. la localización de polos en lazo cerrado o
2. por las raíces de la ecuación característica
C ( z)
G( z)
=
R ( z ) 1 + GH ( z )
ecuación característica
P ( z ) = 1 + GH ( z ) = 0
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Para que el sistema sea estable, los polos de lazo
cerrado y las raíces de la ecuacióncaracterística deben
presentarse en el plano z dentro del circulo unitario,
fuera de este hace inestable al sistema.
Si un polo simple se presenta en z = 1, entonces el
sistema se convierte en críticamente estable. O si un
par de polos complejos conjugados se presentan sobre
el circulo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple
en lazo cerrado sobre el circulo unitario hace al
sistema inestable.Los ceros en lazo cerrado no afectan a la estabilidad
absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados en
cualquier parte del plano z.
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Métodos para probar estabilidad absoluta
Directamente de la ecuación característica P(z)=0, sin
raíces
•Prueba de estabilidad de Jury
Revela la existencia de cualquier raíz
inestable, pero, no da localizaciones, ni
efectosde cambios en los parámetros
sobre la estabilidad del sistema.
•Transformación Bilineal con el criterio de Routh
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Prueba de estabilidad de Jury
Al aplicarla a una ecuación característica dada P(z)=0, construimos la
tabla con los coeficientes de P(z).
n
P ( z ) = a0 z + a1 z
n −1
+ .... + a n −1 z + a n
Renglón
z
z
z
z
....
z
z
z
1
an-1
a1
bn-2b1
cn-3
c1
an-2
a2
bn-3
b2
cn-4
c2
a n-3
a3
bn-4
b3
c n-5
c3
....
2
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5
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an
a0
bn-1
b0
cn-2
c0
a2
an-2
b1
bn-2
c0
cn-2
a1
an-1
b0
bn-1
a0
an
…
…
2n-5
2n-4
2n-3
p3
p0
q2
p2
p1
q1
p1
p2
q0
p0
p3
Control Digital
0
1
2
3
....
....
....
....
....
n-2
n-1
n
Dr. Luis E. Garza C.
Renglón
z
z
z
z
....
z
z
n-1
z
1
2
an
a0
an-1
a1
an-2
a2
an-3
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....
....
a2an-2
a1
an-1
a0
an
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bn-1
bn-2
bn-3
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b1
b0
b1
cn-3
b2
cn-4
b3
cn-5
....
bn-2
c0
bn-1
5
b0
c n-2
....
....
6
c0
c1
c2
c3
....
cn-2
…
…
2n-5
2n-4
2n-3
p3
p0
q2
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p1
q1
p1
p2
q0
p0
p3
an
bk =
a0
0
1
2
3
n
an −1− k
, k = 0,1,2,…,n-1
ak +1
ck =
bn −1 bn − 2 − k
b0
bk +1
, k = 0,1,2,…,n-2
qk =
Control Digital
n-2
p3
p2− k
p0
pk +1
, k = 0,1,2
Dr. LuisE. Garza C.
Criterio de estabilidad mediante la prueba de Jury.
P ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + .... + a n −1 z + a n
Donde a0 > 0, es estable, si todas las condiciones se
satisfacen: 1.
a
n
2.
P( z ) z =1 > 0
3.
4.
bn −1
> 0
P( z ) z = −1
< 0
> b0
Para n par
Para n impar
cn − 2 > c0
M
q2 > q0
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Ejemplo 1:
Construir la tabla de estabilidadde Jury para la siguiente
ecuación característica:
P ( z ) = a0 z 4 + a1 z 3 + a 2 z 2 + a3 z + a 4
Donde a0 > 0, se escriben las condiciones de estabilidad
1.
a 4 < a0
2.
P(1) = a0 + a1 + a 2 + a3 + a4 > 0
3.
P(−1) = a0 − a1 + a2 − a3 + a4 > 0,
4.
b3 > b0
c 2 > c0
Control Digital
Dr. Luis E. Garza C.
Renglón
0
z
1
z
2
z
a
0
a0
a
4
a1
a3
a0
a4
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a0
a2
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a0Control Digital
4
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z
b2
b1
c2
c1
= b2
= b1
a3
a1
b3
b0
b3
b0
b3
b0
= b3
= b0
b0
b3
b1
b2
= c2
= c1
= c0
c0
Dr. Luis E. Garza C.
Ejemplo 2:
Examinar la estabilidad de la siguiente ecuación
característica.
P( z ) = z 4 − 1.2 z 3 + 0.07 z 2 + 0.3 z − 0.08
a0 =1, a1 =-1.2, a2 =0.07, a3 =0.3, a4 =-0.08
1.
a 4 < a0
2.
P(1) = 1 − 1.2 + 0.07 + 0.3 − 0.08 = 0.09 > 0
3....
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