Analisis 1

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INTRODUCCION

En esto unidad veremos la inestabilidad elástica ya sea presente en las columnas o en las vigas , determinando su pandeo o deformación por medio de ecuaciones que presentan ya sea por su modo de actuar ..
La inestabilidad elástica se refiere a un conjunto de fenómenos de no linealidad geométrica que se manifiesta en que los desplazamientos en un elemento estructural no sonproporcionales a las fuerzas aplicadas. Eso está relacionado con que dentro de cierto rango de desplazamientos y fuerzas las ecuaciones de gobierno de dicho elemento estructural presentan no linealidad.

Fenómenos de inestabilidad elástica

Los principales fenómenos de inestabilidad elástica son:
• Pandeo flexional, que se da especialmente en pilares y prismas mecánicos de gran esbeltezflexional.
• Inestabilidad lateral, que se da básicamente en vigas en piezas de pequeña esbeltez torsional.
• Inestabilidad de arcos (snap through unidimensional), que se da en arcos o piezas planas de directriz curva cargados en el plano de curvatura.
• Inestabilidad de cúpulas (snap through bidimensional), que se da en cúpulas poco apuntadas bajo cargas verticales.
• Abolladuralocal, que se da en elementos bidimensionales en los que en alguna dirección existen tensiones de compresión, paralelas al plano tangente al elemento.
Lo mas importante es el análisis de columnas, es decir, de elementos de compresión con área transversal constante y que este variando . por lo regular el análisis puede ser estable e inestable .
Entre los mas comunes el pandeo es el fenómenoaparece principalmente en pilares y columnas, y se traduce en la aparición de una flexión adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia.

NATURALEZA DEL PROBLEMA VIGA-COLUMNA.

Una viga en la que actúa una fuerza axial de compresión además de cargas aplicadas transversalmente, se denomina viga-columna. El estudio detallado de dicho tema no sepresenta en este libro, pero se examinará un caso sencillo para ilustrar el efecto significativo de la fuerza axial en tales problemas. Considérese, por ejemplo, una viga-columna elástica sometida a una fuerza axial P y una carga transversal hacia arriba F en su punto medio, figura (a). En la figura (b) se ve el diagrama de cuerpo libre para la viga-columna deformada. Este diagrama permite laformulación del momento flexionante total M, que incluye el efecto de la fuerza axial P multiplicada por la deflexión v. El momento total dividido entre El se podría hacer igual a la expresión para la curvatura exacta, ecuación 11-8. Sin embargo, esta curvatura se considera habitualmente como d2v/dx2: es decir, se acepta la expresión M= E Iv". Esto produce resultados exactos sólo para deflexiones yrotaciones pequeñas, y el aceptar esta aproximación conducirá a deflexiones infinitas en caso de cargas críticas.

Debido a esto, utilizando la relación M= El v" y observando que para el tramo izquierdo del claro M= -(F/2) X - Pv, se tiene

EI v ‘’ = M = - Pv - (F/2)x Desde (0 ( x ( L/2)
o bien, E lv" + Pv = -(F/2)x
Dividiendo entre El y haciendo (2= P/(El), despuésde alguna simplificación, la ecuación diferencial gobernante será.

d2v + (2v = - (2F x Desde (0 ( x ( L/2)
dx2 2P

La solución homogénea de esta ecuación diferencial tiene la forma bien conocida del movimiento armónico simple; la solución particular es igual al término de la derecha dividido entre (2. Por consiguiente, la solución completa es

v = C1sen (x + C2 cos (x - (F/2P)x Ecuación 1

Los valores de las constantes C1 y C2 se deducen de la condición de frontera v(O)= O y de una condición de simetría v’(L/2)= O. La primera condición da

V(0)= C2 = 0

Puesto que v' = C1 ( cos (x – C2 ( sen (x - F(2P)

Siendo que la constante C2 es igual a cero, la segunda condición resulta

v'(L/2) = C1 ( cos...
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