analisis de sistema dinamicos

Materia
Análisis de Sistemas Dinámicos

Proyecto
Análisis e Implementación de un Sistema

Introducción
Se pretende analizar un sistema mediante las herramientas vistas a lo largo del curso, como
son la obtención del modelo del sistema en función de transferencia así como en ecuaciones
de estado a partir de su representación en diagrama de bloques, determinación de su
respuesta en eltiempo a la entrada escalón unitario y diferentes análisis más para saber si el
sistema es controlable, observable y estable, así como sus gráficas correspondientes tanto a
si análisis en frecuencia y fase con Bode y traza de Nyquist.
Finalmente después del análisis se requiere una implementación mediante Amplificadores
Operacionales el cual será realizado a partir de los resultados obtenidos.Descripción del Sistema
El sistema se define mediante el siguiente diagrama de bloques:

4

20

Gain2

Gain1

5
Gain6
y
X'3
Step

1
s
Integrator

X3

1
s
Integrator1

X2

1
s
Integrator2

X1

100

Scope

Gain

R1
Gain3
R2
Gain4
R3
Gain5

Consta de tres integradores, una sola entrada y una sola salida, tres bloques suma y siete
bloques de gananciasdiferentes donde R1=405, R2=131 y R3=10.8
Se pide resolver la siguiente lista de incisos:
a) Hallar la función de transferencia
b) Hallar las ecuaciones en espacio de estados, forma canónica controlable, forma
canónica observable.
c) Localizar los polos en lazo abierto.
d) Determinar la FT en lazo cerrado con retroalimentación unitaria.

e) Determinar la respuesta en el tiempo para unaentrada escalón unitario (la
retroalimentación es unitaria).
f) Bosquejar manualmente el LGR justificando cada paso.
g) Determinar la salida cuando la entrada del sistema es u(t)=2Sen(t+10º)
h) Analizar la estabilidad mediante el criterio de Ruth-Hurwitz.
i) Bosquejar las trazas de Bode en magnitud y fase justificando cada traza.
j) Determinar el margen de fase y de ganancia.
k) Bosquejarmanualmente la traza de Nyquist justificando cada paso.
l) Implementar el sistema de la gráfica con AO y comparar la respuesta con MATLAB
cuando la entrada es: Escalón unitario, Entrada sinusoidal.

Análisis
Para encontrar la función de transferencia se observa el diagrama de bloques y mediante
inspección se encuentran las siguientes relaciones:
= 100

̇ =

̇ =

̇ =5

+ 20

−4

+(−

−

−

Definiendo el vector X como: =

)=−

−

y el vector

(4 +

=[ ]

)+

(5 −

)+

se obtienen las siguientes

matrices que definen el sistema en variables de estado de la siguiente forma:
̇=
=

b)

̇=

+

+

0
0
−

= [100

1
0
−4 −

20

0
1
5−

0
+ 0
1

0] + [0]

La cual coincide con la Forma Canónica Controlable.
̅=

̅=

Parala Forma Canónica Observable se puede obtener mediante las siguientes relaciones:
=

=

Donde

=(

)

=

M para este caso es
|

− |=

+

1

1
0

1
0
0

donde

+⋯+

son los coeficientes de la ecuación

+

característica de la matriz A los cuales se definen como:
=

y V para este caso es

Procediendo a calcular los coeficientes sustituyendo los valores deR1, R2 y R3
|
|

1
0
0

− |=

0
1
0

0
0
0 −
0
1
−10.8

− | = 10.8 + 134 + 400

Por lo tanto
Así

135
= 400
1

Para V

= [100

=

= [100
100
0
−216

Y para Q
=

134
400
1

= 134 y

400
1
0

20

20

0]

0]

20
100
−2700

400
1
0

1
0
0

1
0
0

0
0
−10.8

0
0
−10.8
0
20

−7900
100
0
−216

+

1
0
−135= 400

1
0
−135
1
0

0
1
−400

0
= [0
1
−400

0
1
−135 −400

20
100
−2700

100

= [−216

0
20
−7900

20]

−2700

−7900]

1
⎡−
184216
⎢
5
=⎢
184216
⎢
25
⎢
⎣− 184216

5
184216
25
−
184216
46679
921080

13
⎤
92108 ⎥
5838 ⎥
115135 ⎥
466378⎥
−
23027 ⎦
−

Finalmente en la Forma Canónica Observable:
0
= 1
0

̅=

=

̅=

=...