Analisis Del Consumidor

Análisis de Elección del Consumidor Clase Práctica
Profesor: Felipe Vásquez Lavín Ayudante:Alejandra Chovar Vera Universidad del Desarrollo Primer Semestre 2012

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1. Distribuciones: Chi-cuadrado, t de Student, F de Fisher y Teorema Central del Límite
1.1. Distribución Chi-Cuadrado
Se supondrá que µ es conocida y σ 2 no lo es. Se tendrá la variable Z que se distribuye Normal Estándar,
22 2 luego Z 2 se llama Chi-Cuadrado con un grado de libertad. Generalizando si Z1 , Z2 , ..., Zn , se conoce como 2 Chi-cuadrado con n grados de libertad y se escribe Xn . La figura 1 muestra la densidades de la función

Chi-cuadrado.

Figura 1: Densidades Chi-cuadrado Mientras más grados de libertad tenga la distribución, menor será su máximo absoluto y convergerá a cero más lentamente. ¿Paraqué se utiliza la distribución Chi-cuadrado? Si S 2 es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población normal que tiene varianza σ 2 , entonces el estadístico es: X2 = (n − 1)S 2 σ2 (1)

tiene una distribución Chi-Cuadrado con n − 1 grados de libertad.

1.1.1. Ejemplo Un fabricante de baterias de automóviles asegura que sus baterias duran en promedio 3 años conuna desviación estándar de 1 año. Si cinco de estas baterias tienen una vida útil de 1, 9 - 2, 4 - 3 - 3, 5 - 4, 2. ¿Cuál es la probabilidad que la desviación estándar sea menor que 1?

3 Lo primero es calcular S 2 (varianza muestral), según su formula:
n

S2

=
i=1

¯ (Xi − X)2 n−1

= =

(1, 9 − 3)2 + (2, 4 − 3)2 + (3 − 3)2 + (3, 5 − 3)2 + (4, 2 − 3)2 4 0, 815

Luego se calcula esestadigrafo chi-cuadrado:

X2

(n − 1)S 2 σ2 4 ∗ 0, 815 = 1 = 3, 26 =

Luego P (X 2 < 3, 26) = 0, 5152, es decir, existe un 51 % de probabilidad que la desviación sea menor que uno.

1.2. Distribución F de Fisher
Sean U y V dos variables aleatorias que se distribuyen Chi-cuadrado independientes con m y n grados de libertad respectivamente, la distribución de:

W =

U m V n

(2)es llamada distribución F con m y n grados de libertad y es denotada por Fm,n . La figura 2 muestra las densidades de la función F.

Figura 2: Densidades F Las curvas de la distribución F depende no sólo de los parámetros n y m, sino también del orden en el que se establezcan.

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¿Para qué se utiliza la distribución F de Fisher? Se usa en situaciones en donde hay dos muestras y se buscaextraer inferencia acerca de las varianzas de la población. Esto implica la aplicación del resultado del siguiente estadístico:
2 S1 2 σ1 2 S2 2 σ2

F =

=

2 2 σ2 S1 2 2 σ1 S2

(3)

2 2 Donde S1 y S2 son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 tomadas de 2 2 poblaciones normales con varianza σ1 y σ2 respectivamente. 2 2 Por ejemplo supongamos que dosvariables X e Y tiene igual varianza, es decir, σx = σy , entonces el

estadístico F resulta F =

2 Sx 2 Sy ,

2 2 luego al calcular Sx ySy el cuociente de F, debería ser igual a uno. En otras

palabras, si las dos varianzas son iguales, la probabilidad de observar un valor de F distinto de uno es pequeña.

1.3. Distribución t-student
Z 2 Si Z ∼ N (0, 1) y U ∼ Xn con Z y U independientes,entonces la distribución de T = √ U es conocida
n

como t-Student con n grados de libertad. La figura 3 muestra las densidades de la distribución t-student:

Figura 3: Densidades t-student Todos los gráficos anteriores, contienen una Normal Estándar y una t- Student con distintos grados de libertad. ¿Para qué se utiliza la distribución t-student? Se usa de manera extensa en problemas que tienen quever con inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican muestras comparativas (,es decir, en casos donde se trata de determinar si las medias de dos muestras son significativamente diferentes). Para utilizar esta distribución se calcula el siguiente estadístico:

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T =

¯ X −µ
S √ n

(4)

1.3.1. Ejemplo Se asegura que el consumo de gasolina en carretera de...