Analisis derivativo de funciones

1.1. Análisis de funciones

Introducción

A lo largo de esta unidad se hablará de uno de los conceptos pilares en el estudio de la matemática: la función, la cual surge de la necesidad de relacionar cantidades variables entre sí.


Los orígenes del concepto de función se remontan a ciertos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el concepto de función se asocia conel de movimiento siendo Nicolás de Oresme (1323-1392) quien representa en unos ejes coordenados el cambio de velocidad respecto del tiempo. Posteriormente Galileo (1564-1642) estudió el movimiento de manera cuantitativa y expresa sus resultados mediante leyes entre magnitudes.1


Han sido diferentes los personajes matemáticos que gracias a sus investigaciones han ido desarrollando el conceptode función. Entre los cuales podemos mencionar a René Descartes (1596-1650), quien en 1637 utiliza la palabra función para señalar la potencia entera de una variable. Isaac Newton (1642-1727) utilizó el término fluyente para designar la relación entre variables. Leibniz (1646-1716) aplica el término función para señalar cantidades que dependen de una variable. Los términos constante,variable y parámetro fueron introducidos por él. Por otro lado, la notación actual que designa a una función como f(x), se debe a Leonhard Euler (1707-1783). Finalmente se puede mencionar al alemán Johann Dirichlet (1805-1859), a quien se le atribuye la definición moderna de función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.2


Las funciones pueden ser representadas mediantegráficas, así como llevar a cabo operaciones entre ellas y ser utilizadas para describir situaciones o fenómenos que se presentan a diario en nuestro entorno mediante la modelación matemática.


Para dar inicio al estudio de las funciones comenzaremos con la descripción de varios términos introductorios y necesarios para conceptos que se verán más adelante.




Conceptos



En laresolución de problemas matemáticos se emplean dos tipos de cantidades:

constantes y variables.3


Una variable, es una cantidad que durante el análisis de un problema puede adquirir diferentes valores y generalmente se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z), para ser representadas.


Una constante, es una cantidad que mantiene un valor fijo durante el análisis de un problema. Podemostener constantes numéricas o arbitrarias.
Una constante numérica llamada también absoluta, mantiene el mismo valor para
cualquier problema, por ejemplo: √


Una constante arbitraria llamada también parámetro, adquiere ciertos valores numéricos y los conserva durante el análisis de un problema. Generalmente se utilizan las primeras letras del abecedario para representarlas (a,b,c,k).
Unafórmula muy conocida es , la cual se utiliza para obtener el área de un

círculo, dado el valor del radio. En esta fórmula podemos identificar que y 2 son constantes absolutas, mientras que r es una variable.


De cursos anteriores se conoce que la ecuación representa a una línea recta. Los parámetros o constantes arbitrarias son m y b, las cuales conservaránun valor durante un problema específico y la variable está representada por x.


Producto Cartesiano

De la teoría de conjuntos rescatamos el concepto de producto cartesiano, el cual es una manera de vincular dos conjuntos, a través de parejas ordenadas.4


Sea dos conjuntos A y B, el producto cartesiano se define como un nuevo conjunto conformado por parejas ordenadas (a,b), tales que apertenece al conjunto A, y b pertenece al conjunto B.
Lo anterior se puede representar como sigue:


A B = {(a,b) / a  A, b  B}

Ejemplo 1. Sean los conjuntos M={i,j,k} y N={p,q}. Determinar su producto cartesiano.


El producto cartesiano será el nuevo conjunto M  N conformado de los siguientes pares ordenados:
M N = {(i,p),(i,q),(j,p),(j,q),(k,p),(k,q)}


Ejemplo 2....