Analisis Estructural

Contents
1 Espacio euclideo 1.1 Norma y producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Distancia y topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sucesiones y compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 C´lculo diferencial a 2.1 Continuidad y continuidad uniforme . . . . . . . . . . 2.2 Derivadas parciales, direccionales y diferenciabilidad. 2.3 Teoremasclave de c´lculo diferencial. . . . . . . . . . a 2.4 F´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 9 11 11 13 18 21

3 Extremos en varias variables 23 3.1 Extremos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 23 icita. . . . . . . . . . . . 26 3.2 Teoremas de la funci´n inversa e impl´ o 3.3 Extremos condicionados . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 30

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Chapter 1 Espacio euclideo
1.1 Norma y producto escalar
n

Definition 1.1.1 Sean x = (x1 , ..., xn ) e y = (y1 , ..., yn ) con xi , yi ∈ R, A ⊂ Rn definimos x, y =
i=1

xi yi ,

x =

x2 + ... + x2 , 1 n

Si x, y ∈ Rn son no nulos, se dicen ortogonales ( x ⊥ y) si x, y = 0. Se definen las bolas unidad abierta (respect. cerrada) y la esfera unidaddel espacio como ¯ B1 = {x ∈ Rn : x < 1}(respect.B1 = {x ∈ Rn : x ≤ 1} ), S1 = {x ∈ Rn : x = 1}. Se define el ´ngulo Ang(x, y) = θ como el valor θ ∈ [0, 2π) tal que a cos(θ) = x, y x y

Exercise 1.1.1 Probar que si x, y ∈ Rn (1) x ≤ max{ x + y , x − y }. (2) Si x ⊥ y entonces z 2 + z − x − y 5

2

= z−x

2

+ z − y 2.

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Chapter 1. Espacio euclideo

Exercise 1.1.2 Calcular elangulo entre x, y ∈ Rn ´ (1) x = ei e y = ej para i = j siendo ei = (0, ..., 1, ...0). (2) x = ai e y = ej para i = j siendo ai = i ej . j=1 (3) En R4 donde x = (1, −1, 0, 1) e y = (−1, 1, 1, 0). Exercise 1.1.3 Sean x 1 = n |xi | y x ∞ = maxi=1,...,n |xi | i=1 (1) Probar que son normas sobre Rn . (2) Probar que existen An , Bn > 0 tales que An x
1

≤ x ≤ Bn x 1 .

(3) Probar que existen An , Bn> 0 tales que An x
∞

≤ x ≤ Bn x

∞.

(4) Dibujar las bolas en R2 euclidea, y de las normas anteriores. Interpretar gr´ficamente los apartados (2) y (3). a Exercise 1.1.4 Sea 1 < p < ∞. Definimos x p = ( n |xi |p )1/p i=1 1 (1) Probar t1/p − 1 ≤ p (t − 1) para t ≥ 1. p q 1 (2) Probar que si a, b > 0 entonces ab ≤ ap + bq donde p + 1 = 1. (Ayuda: q Usar el apartado (1).) (3) Probar que si x p= y q = 1 entonces n |xi yi | ≤ 1. i=1 (4) Probar que x p es una norma en Rn . (Ayuda: Usar el apartado (3).) (5) Dibujar las bolas unidad en R2 con las distintas normas . p anteriores. (6) Probar que si 1 ≤ p, q ≤ ∞ entonces existen An (p, q), Bn (p, q) > 0 tales que An x p ≤ x q ≤ Bn x p .

1.2

Distancia y topologia

Definition 1.2.1 Sean x = (x1 , ..., xn ) e y = (y1 , ..., yn ) con xi ,yi ∈ R, definimos el segmento que los une por [x, y] = {tx + (1 − t)y : 0 ≤ t ≤ 1} y la distancia entre ellos d(x, y) = (x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2 .

1.2. Distancia y topologia Si A, B ⊂ Rn denotamos d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}, d(A, B) = inf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.

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Dados x ∈ Rn and r > 0 se definen las bolas abiertas y cerradas de centro x y radio r como Br (x) = {y ∈ Rn : d(x,y) < r}, Br (x) = {y ∈ Rn : d(x, y) < r}. Un conjunto A ⊂ Rn se dice abierto si para todo x ∈ A existe ε > 0 tal que Bε (x) ⊂ A. Un conjunto A ⊂ Rn se dice cerrado si Rn \ A es abierto. Un conjunto A ⊂ Rn se dice acotado si existe R > 0 tal que A ⊆ BR (0). Un conjunto A ⊂ Rn se dice convexo si para todo x, y ∈ A se tiene que [x, y] ⊂ A. Un conjunto A ⊂ Rn se dice conexo (por poligonales) si paratodo x, y ∈ A se tiene que existen N ∈ N y xi ∈ A (i = 1, ..., N ) tales que x1 = x, xN = y y adem´s [xi , xi+1 ] ⊂ A para i = 1, ..., N − 1. a Un hiperplano de Rn es un conjunto H = {y ∈ Rn : y, x = α} para cierto elemento no nulo x ∈ Rn (que llamamos vector normal del hiperplano) y cierto α ∈ R. Exercise 1.2.1 Probar las siguientes afirmaciones: (1) Una bola abierta es un abierto de Rn . (2) Una...