analisis matematico

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Definición:
Dados dos conjuntos A y B, en ese orden, se llama función a toda relación que le haga
corresponder cada uno de los elementos del conjunto A un únicoelemento del conjunto B.
Al conjunto A se lo llama “dominio de la función” y al conjunto B “conjunto de llegada”.
A las funciones se las representa generalmente con las siguientes letras: f, g, h,... y al
dominio de cada una de ellas se conviene en representarlos como: D f , D g , D h , ...
En forma genérica a los elementos del conjunto A se los representa con la letra x (a x se la
llamavariable independiente) y a los elementos del conjunto B con la letra y (a y se la llama
variable dependiente o función).
Observación:

x ∈ A , se lee “x pertenece a A”
y ∈ B , se lee “y pertenece aB”

Una función f cuyo dominio es el conjunto A y cuyo conjunto de llegada es el conjunto B,
se representa simbólicamente de la siguiente manera:
f : A → B / y = f (x)
La igualdad y = f (x)indica la forma como se asigna a cada elemento de A, el elemento de
B que le corresponde. Es decir, f indica la relación que vincula a cada x con su
correspondiente y.
Por eso se suele decir que y es laimagen de x y que x es la preimagen de y mediante la
función f.
Cuando el dominio de la función es un subconjunto de ℝ y el conjunto de llegada es ℝ , se
dice que f es una función real de variablereal.

Clasificación de funciones
A) Según sus propiedades
Sea f : D f → ℝ / y = f (x)
1) Inyectiva
“Una función es inyectiva sí y sólo sí a elementos distintos del dominio le
correspondenimágenes distintas en el conjunto de llegada”.
Simbólicamente:
f es inyectiva ⇔ ∀x 1 ∈ D f , ∀x 2 ∈ D f : x 1 ≠ x 2 ⇒ f (x 1 ) ≠ f (x 1 )

(1)

Se puede demostrar que la definición que figura en (1)es equivalente a:
1

f es inyectiva ⇔ ∀x 1 ∈ D f , ∀x 2 ∈ D f : f (x 1 ) = f (x 1 ) ⇒ x 1 = x 2

(2)

2) Sobreyectiva
“Una función es sobreyectiva sí y sólo sí todos los elementos del...