ANALISIS MATEMATICO

Aplicación de derivadas
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron.A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
 
Proposición. Toda. Función derivable en un punto es continua en dicho punto.
El recíproco es falso.
Ejemplo 2.  es continua en 0, pero no es derivable en 0.
Aplicación física de la derivada
         Consideremos la función espacio E= E(t).         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en elinstante t =5.
         Solución
         v(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4
3. Interpretación geométrica de la derivada
La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa aser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
 
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar
     y - f(a) = f ´(a)(x-a)       .
Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f,  pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a,f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelasen x = 1.
Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente
 
Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas
 
La función derivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.
Tabla de derivadas de algunas funciones elementales
1) f(x)  =k  f´(x) =0
2) f(x) =  xn  f´(x) = nxn-1
3)f(x) =   f´(x) =
4) f(x) = ln x  f´(x) =
5) f(x) = ex  = ex
6) f(x) = sen x  f´(x) = cos x
7) f(x) = cos x  f´(x) = -sen x


Reglas de derivación
Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:
-(f +g)´= f´(a) + g´(a)
-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)
Además si g(a)0, entonces f/g es derivable en a y se verifica
-
Ejercicio 6.Calcula la derivada de:
a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)
c) h(x) = tan  x;  d)
 
Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:
a) f(x)=           
Observación: la gráfica de esta función es:       
b) y =
c) g(x)=
 
Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.
Observación. Si f ´ se puede derivar en sudominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda,
y  f ´´´, f ´ v  que se dice son las derivadas sucesivas de f.
 
Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= ex; b) g(x) =; c) h(x)= sen x.
 
Regla de la cadena
Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces fg es derivable en a y se verifica:
(fg)´(a) = f´(g(a)).g´(a)...