Analisis multifactorial

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INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES.
Muchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o más factores. Puede mostrarse que en general los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos.
Experimento factorial: Aquél donde en cada ensayo o réplica completa del experimento se investigan se investigan todas las combinaciones posiblesde los niveles de los factores.
Efecto principal: Es el efecto de un factor que está definido como el cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel del factor.
Un experimento factorial
| | Factor B |
| | B1 | B2 |
Factor A | A1 | 20 | 30 |
| A2 | 40 | 52 |
| | | |

El efecto principal del factor A podría interpretarse como la diferenciaentre la respuesta promedio en el primero y segundo nivel de ese factor. Numéricamente

En otras palabras, incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es

Interacción: cuando en algunos experimentos, la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma para todos los niveles delos otros factores, se dice que existe una interacción.

En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los factores.

Un experimento factorial con interacción
| | Factor B |
| | B1 | B2 |
Factor A | A1 |20 | 40 |
| A2 | 50 | 12 |

En el primer nivel del factor B, el efecto de A es:
A = 50 – 20 = 30
Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es:
A = 12 – 40 = – 28
Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto de A depende del nivel elegido de B.
Las Ventajas de los Factoriales
Las ventajas de los diseños factoriales puedenilustrarse fácilmente.
Ahora supongamos que existe interacción, los diseños factoriales poseen algunas ventajas:

* Son más eficientes que los experimentos de un factor a la vez.
* Más aún, los diseños factoriales son necesarios cuando alguna interacción pueda estar presente, con el propósito de evitar hacer conclusiones que son engañosas.
* Los diseños factoriales permiten estimar losefectos de un factor en diversos niveles de los otros factores, produciendo conclusiones que son válidas sobre toda la extensión de las condiciones experimentales.

Diseño Factorial de Dos Factores

El tipos más simple del experimento factorial involucra sólo dos factores, digamos A y B. Hay a niveles del factor A y b niveles del factor B.

Arreglo de Datos para un Diseño con dosFactores

| | Factor B | Totales | Promedios |
| | 1 | 2 | . . . | b | | |
Factor A | 1 | y111, y112 , . . . , y11n | y121, y122 , . . . , y12n | . . . | y1b1, y1b2 , . . . , y1bn | | |
| 2 | y211, y212 , . . . , y21n | y221, y222 , . . . , y22n | . . . | y2b1, y2b2 , . . . , y2bn | | |
| | | || | | |
| a | ya11, ya12 , . . . , ya1n | ya21, ya22 , . . . , ya2n | . . . | yab1 ,yab2 , . . . , yabn | | |
Totales | | | | . . . | | | |
Promedios | | | | . . . | | | |

El experimento tiene n réplicas y cada una de ellas contiene ab combinaciones de tratamientos. La observación de la celdaij-ésima en la réplica k-ésima se denota por yi j k . Al realizar el expeerimento, las observaciones abn deben obtenerse con un orden aleatorio. Por lo tanto, al igual que el experimento con un solo factor, el experimento factorial con dos factores es un diseño completamente aleatorizado.

Las observaciones pueden describirse con el modelo estadístico lineal

Donde:

Es el efecto...
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