ANALISIS NUMERICO SOLUCION NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

SOLUCION
NUMERICA DE
ECUACIONES
DIFERENCIALE
S ORDINARIAS

INTEGRANT
ES:
José Arango
Roiner Arciniegas
Karen Quiroga

PROBLEMAS DE VALORES INCIALES
DE PRIMER ORDEN (PVI1)

Se trata de encontrar lacurva y(x) que pasa por el punto y
cuya pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la
curva está dada por .

TEOREMA DE EXISTENCIA Y
UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES
Dado:

Sí f(x, y) y
soncontinuas en una región R del plano que
contiene al punto
, entonces existe una única función
definida en que satisface al PVI dado.

CLASIFICACIÓN DE
MÉTODOS PARA PVI


Métodos de paso simple y pasomúltiple

Los métodos de paso simple calculan la solución yi+1 en el punto xi+1 a
partir del valor de la función yi

en el punto xi. Por ejemplo, el método de Euler:

yi 1  yi  f (ti , yi ) h

Por suparte los métodos de paso múltiple (de m pasos) calculan la
solución yi+1 en ti+1 a partir del valor de la función y en los instantes ti, ti–1, ..., ti–m+1 . Por
ejemplo, el método de Heun:

yi 1  yi

h
 f (ti , yi )  f (ti 1 , yi  1  f (ti , yi )2h) 
2

MÉTODOS EXPLÍCITOS E
IMPLÍCITOS

Los métodos explícitos permiten hallar yi+1 directamente, sin
tener que resolver un sistema deecuaciones no lineales. Por
ejemplo, Runge-Kutta de orden dos:
yi 1  yi   a1k1  a2 k 2  h

k1  f (ti , yi )  f i

k 2  f (ti  p1h, yi  q11k1h )

Los métodos implícitos necesitan resolver unsistema no lineal, pues
yi+1 aparece a ambos lados de la ecuación, por ejemplo la regla
trapezoidal:
yi 1  yi 

1
f (ti , yi )  f (ti 1 , yi 1 )  h

2

ESTRATEGIA DE LOS MÉTODOS
DE PASO SIMPLE OAUTOINICIADORES

Se discretiza el intervalo [x0, xf], es decir se subdivide en n
subintervalos, resultando n+1 puntos igualmente espaciados y
a partir del dato y(x0) = y0 se calculan los valores de laincógnita “y” en cada uno de los puntos x1, x2, x3, …, xn = xf
determinados en la discretización, según las ecuaciones que
definen al método que se esté aplicando.

ESTRATEGIA DE LOS MÉTODOS...