Solucion Numeria De Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Y Parciales

ECUACION DIFERENCIAL
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
 Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
 Ecuaciones enderivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

INTRODUCCION
Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variableindependiente , es decir, , es la derivada de con respecto a .
La expresión

es una ecuación en derivadas parciales.
A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante unmétodo específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).





SOLUCIONES NUMÉRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es una relación que contiene funciones de una sola variable independiente, y una o más de sus derivadas conrespecto a esa variable.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.
Se ha dedicado mucho estudio a la resolución de estetipo de ecuaciones, estando casi completamente desarrollada la teoría para ecuaciones lineales. Sin embargo la mayoría de las ecuaciones diferenciales interesantes son no-lineales, a las cuales en la mayoría de los casos no se les puede encontrar una solución exacta.

DEFINICION
Si y es una función desconocida:

de x siendo la enésima derivada de y, entonces una ecuación de la forma
(1)es llamada una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n. Para funciones vectoriales,
,
la ecuación (1) es llamada un sistema de ecuaciones lineales diferenciales de dimensión m.
Cuando una ecuación diferencial de orden n tiene la forma

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

es llamada una ecuación diferencial explícita.
Una ecuación diferencialque no depende de x es denominada autónoma.
Se dice que una ecuación diferencial es lineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de las derivadas de y

siendo, tanto ai(x) como r(x) funciones continuas de x. La función r(x) es llamada el término fuente (traducido del inglés source term); si r(x)=0 la ecuación diferencial lineal es llamada homogénea, de lo contrario es llamada nohomogénea.

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

Donde es la condición inicial.

Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:

• Ecuación de variables separables
Son EDOs de la forma:

En donde es posible "despejar" todos los términos con la variabledependiente en función de la variable independiente, quedando ahora la ecuación:

En donde se procede integrando ambos miembros de la ecuación

De donde es posible obtener la solución



• Ecuación exacta
Una ecuación de la forma:

se dice exacta si existe una función F que cumpla:

y

Su solución es entonces:


• EDO de primer orden y homogénea.
La ecuación diferencial...