analisis numerico

Introducci´n al An´lisis num´rico y tratamiento de errores
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Ing. Jes´s Javier Cort´s Rosas
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M. en A. Miguel Eduardo Gonz´lez C´rdenas
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M. en A. V´
ıctor D. Pinilla Mor´n *
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2011

Resumen
Definici´n de An´lisis Num´rico. Necesidad del uso de los m´todos num´ricos. Definici´n,
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clasificaci´n y cuantificaci´n de errores. Aproximaci´n num´rica.
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e1.

Definici´n de An´lisis Num´rico
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El An´lisis Num´rico es una rama de las matem´ticas[?] que, mediante el uso de algoritmos iteraa
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tivos, obtiene soluciones num´ricas a problemas en los cuales la matem´tica simb´lica (o anal´
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ıtica)
resulta poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer una soluci´n. En particular, a estos algoro
timos se les denomina m´todosnum´ricos.
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Por lo general los m´todos num´ricos se componen de un n´mero de pasos finitos que se ejecutan
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de manera l´gica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta cantidad, tal como la ra´ de una
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ız
ecuaci´n, hasta que se cumple con cierta cota de error. A esta operaci´n c´
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o ıclica de mejora del valor
se le conoce como iteraci´n.
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Ejemplo. Uno de los ejerciciosm´s comunes en los cursos b´sicos de Algebra universitaria cona
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siste en encontrar las ra´
ıces de un polinomio. El estudiante conoce principios tales como que el
polinomio posee n ra´
ıces, donde n es el grado del polinomio. Conoce tambi´n que es posible que
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existan exclusivamente ra´
ıces reales o bien, una combinaci´n entre ra´
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ıces reales y ra´
ıces complejas,
existiendoestas ultimas en parejas conjugadas. El m´todo de soluci´n com´nmente utilizado es la
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divisi´n sint´tica (que es un m´todo num´rico). El estudiante aplica el m´todo tantas veces como
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sea necesario para lograr que el residuo de la divisi´n sea cero, o muy cercano a cero.
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No obstante, este procedimiento podr´ dejar insatisfecho a un estudiante acusioso pues a´n cuandoıa
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existen mecanismos para elegir un valor incial de una ra´ se invierte mucho tiempo mejorando
ız,
este valor incial; adicionalmente es complicado obtener las ra´
ıces complejas, cosa que usualmente
debe lograrse a trav´s de un cambio de variable y del uso de la f´rmula general para ecuaciones de
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segundo grado. Finalmente, este proceso s´lo es aplicable en polinomios; no es posiblesu aplicaci´n
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en ecuaciones trascendentes.
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Facultad de Ingenier´ UNAM. Profesores de tiempo completo del Departamento de Matem´ticas Aplicadas de
ıa,
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la Divisi´n de Ciencias B´sicas
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1

An´lisis num´rico
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El an´lisis num´rico es una alternativa muy eficiente para la resoluci´n de ecuaciones, tanto algea
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braicas (polinomios) como trascendentesteniendo una ventaja muy importante respecto a otro tipo
de m´todos: La repetici´n de instrucciones l´gicas (iteraciones), proceso que permite mejorar los
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valores inicialmente considerados como soluci´n. Dado que se trata siempre de la misma operaci´n
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l´gica, resulta muy pertinente el uso de recursos de c´mputo para realizar esta tarea.
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2.

Necesidad del uso del an´lisisnum´rico
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El desarrollo y el auge del uso del an´lisis num´rico corre en forma paralela al desarrollo tecnol´gico
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de la computaci´n[?]. Las computadoras (y en consecuencia tambi´n las calculadoras) est´n faculo
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tadas para realizar una multitud practicamente infita de operaciones algebraicas en intervalos de
tiempo muy peque˜os; esto las convierte en la herramienta ideal para laaplicaci´n de los m´todos
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num´ricos. De hecho, el an´lisis num´rico resulta ser la manera natural de resolver modelos mae
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tem´ticos (de naturaleza algebraica o trascendente tanto para la matem´tica continua como para
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la discreta) a trav´s de la computadora.
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Por otra parte, como consecuencia directa de la aplicaci´n de soluciones num´ricas y del crecimiento
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