Analisis numerico
Páginas: 5 (1224 palabras)
Publicado: 2 de julio de 2011
Bairstow
El método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio f_n(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático
[pic] y [pic]
El procedimiento general para el método de Bairstow es:
Dado [pic]y [pic]y [pic]
1.-Utilizando elmétodo de Newton Raphson calculamos [pic]y [pic], tal que, el residuo de [pic]sea igual a cero.
2.-Se determinan la raíces[pic], utilizando la formula general.
3.-Se calcula [pic]
4.-Hacemos [pic]
5.-Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
6.-Si no, terminamos
La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de unpolinomio (reales e imaginarias).
Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado
[pic]
Al dividir entre [pic], tenemos como resultado el siguiente polinomio
[pic]
con un residuo [pic], el residuo será cero solo si [pic]lo son.
Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación derecurrencia
[pic]
[pic]
[pic]
Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de [pic]respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor
[pic]
[pic]
donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a [pic]y [pic]igual a cero.El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es:
[pic]
[pic]
Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así
[pic]
[pic]
[pic]
donde
[pic]
[pic]
[pic]
Ejemplo:
Sustituyendo término
Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los valores de r y s quehacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.
Solución.
Iteración 1.
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado
f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}
Aplicando el método de Newton tenemos
|-43.875 |16.75 | |dr | |-30.75 |
|108.125|-43.875 | |ds | |61.75 |
de donde
r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796
Iteración 2.
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.7363187491427787x2 + 7.091061199392814x -1.776754563401905
Residuo = {51.75640698828836, 105.68578319650365}
Aplicando el método de Newton tenemos
|27.628006 |14.542693 | |dr | |-51.75640 |
|208.148405 |27.62800 | |ds | |-105.68578 |
de donde
r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 =1.7164010597228012
s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644
Iteración 3.
La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 - 1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.7835989402771988x2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992
Residuo = {12.654716254544885, 28.1881465309956}
Aplicando el método deNewton tenemos
|13.83497 |7.44182 | |dr | |-12.65471 |
|65.679212 |13.83497 | |ds | |-28.18814 |
de donde
r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486
s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 = 2.4506807689726524
En resumen
|k...
El método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio f_n(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático
[pic] y [pic]
El procedimiento general para el método de Bairstow es:
Dado [pic]y [pic]y [pic]
1.-Utilizando elmétodo de Newton Raphson calculamos [pic]y [pic], tal que, el residuo de [pic]sea igual a cero.
2.-Se determinan la raíces[pic], utilizando la formula general.
3.-Se calcula [pic]
4.-Hacemos [pic]
5.-Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2
6.-Si no, terminamos
La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de unpolinomio (reales e imaginarias).
Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado
[pic]
Al dividir entre [pic], tenemos como resultado el siguiente polinomio
[pic]
con un residuo [pic], el residuo será cero solo si [pic]lo son.
Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación derecurrencia
[pic]
[pic]
[pic]
Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de [pic]respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor
[pic]
[pic]
donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a [pic]y [pic]igual a cero.El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es:
[pic]
[pic]
Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así
[pic]
[pic]
[pic]
donde
[pic]
[pic]
[pic]
Ejemplo:
Sustituyendo término
Dado el polinomio f5(x) = x5 - 3.5x4 + 2.75x3 + 2.125x2 - 3.875x + 1.25, determinar los valores de r y s quehacen el resido igual a cero. Considere r0 = -1 y s0 = 2.
Solución.
Iteración 1.
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -x + 2.0 da como resultado
f3(x) = x3 - 4.5x2 + 9.25x - 16.125 Residuo = {30.75, -61.75}
Aplicando el método de Newton tenemos
|-43.875 |16.75 | |dr | |-30.75 |
|108.125|-43.875 | |ds | |61.75 |
de donde
r1 = -1.0 + 2.7636812508572213 =1.7636812508572213
s1 = 2.0 + 5.403374022767796 =7.403374022767796
Iteración 2.
La división sintética con el polinomio f2(x) = x2 -1.7636812508572213x - 7.403374022767796 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.7363187491427787x2 + 7.091061199392814x -1.776754563401905
Residuo = {51.75640698828836, 105.68578319650365}
Aplicando el método de Newton tenemos
|27.628006 |14.542693 | |dr | |-51.75640 |
|208.148405 |27.62800 | |ds | |-105.68578 |
de donde
r2 = 1.7636812508572213 - 0.04728019113442016 =1.7164010597228012
s2 = 7.403374022767796 - 3.469106187802152 = 3.934267834965644
Iteración 3.
La división sintética con el polinomio f2(x)= x2 - 1.7164010597228012x - 3.934267834965644 da como resultado
f3(x) = x3 - 1.7835989402771988x2 + 3.622896723753395x + 1.3261878347051992
Residuo = {12.654716254544885, 28.1881465309956}
Aplicando el método deNewton tenemos
|13.83497 |7.44182 | |dr | |-12.65471 |
|65.679212 |13.83497 | |ds | |-28.18814 |
de donde
r3 = 1.7164010597228012 - 0.11666951305731528 = 1.599731546665486
s3 = 3.934267834965644 - 1.4835870659929915 = 2.4506807689726524
En resumen
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