Analisis Numerico

Ejemplos para resolución de problemas de análisis numérico
A continuación se enunciaran los métodos más utilizados:
1. Método de intervalos
* Bisección: Trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el su intervalo que tiene la raíz. Establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). En caso deque f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0.
* Posición falsa: Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz. El algoritmo va obteniendo en cada paso un intervalomás pequeño [ak, bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f. A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck:

Se evalúa entonces f(ck). Si es suficientemente pequeño, ck es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [ak+1, bk+1] será: [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos; [ck, bk] en caso contrario.

2. Métodos abiertos
* Método del punto fijo:Requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x).
1. Se ubica la raíz de f(x) analizando la gráfica.
2. Se obtiene un despeje x = g(x) de la función.
3. Obtenemos de x = g(x) su derivada g’(x).
4. Resolviendo -1 ≤ g’(x) ≤ 1 obtenemos el rango de valores del punto fijo R.
5. Con R buscamos la raíz en g(x), es decir g(R) = R haciendo iteración.

* Método de Newton Raphson:Se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero de f. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)=0.
* Método de secante: Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raízpara poder inducir una pendiente inicial.
3. Métodos iterativos
* Metodo de Jacobi: Se despeja una variable diferente por cada una de las ecuaciones del sistema, para la primera iteración se le da a esas variables valores aproximados. Para las siguientes iteraciones se usan los valores hallados en la iteración anterior. Ejemplo:

4x- y+ z= 7
4x-8y+ z=-21
-2x+y+5z=15x=(7+y-z)/4 xk+1=(7+yk-zk)/4
y=(21+4x+z)/8 yk+1=(21+4xk+zk)/8
z=(15+2x-y)/5 zk+1=(15+2xk-yk)/5
*
* Método Gauss-Seidel: Es muy parecido al método Jacobi, pero converge más rápido. Se despeja una variable por ecuación. Se le da valores aproximados para la primera iteración. En las siguientes se sustituye por los valores encontrados en la misma iteración.
xk+1=(7+yk-zk)/4yk+1=(21+4xk+1+zk)/8
zk+1=(15+2xk+1-yk+1)/5
4. Raíces de polinomios
* Newton Raphson para sistemas no lineales: Se parte de un punto inicial, la función vectorial y la matriz Jacobiana serán:
Fx,y=ecuacion1ecuacion2 Jx,y=∂ec1∂x ∂ec1∂y∂ec2∂x∂ec2∂y
1. Sustituir las variables por los valores del punto inicial
2. Los incrementos Δp y Δq son soluciones del sistema lineal: J(x,y)Δp=-F(x,y)
Haciendo los cálculos, obtenemos: ∆P=∆p∆q , así que los siguientes puntos de iteración son Pk+1=Pk+∆P.
5. Interpolación de funciones
* Diferencias divididas: Sea fn  una variable discreta de n elementos y sea xn  otra variable discreta de n elementos los cuales corresponden, a la imagen u ordenada y abscisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que: f xk=...