analisis numerico

Integración Numérica

Integración Numérica


Integral simple
 Método

de Simpson adaptativo

 Cuadratura



de Gauss

Integral doble
 Recinto

rectangular

 Recinto

limitado por funciones

Regla de Simpson


Simple
b a
f (a )  4f ( a 2b )  f (b)
IS 
6





Compuesta

Error

h
IS [h ]  ( y 0  4 y1  2 y 2    4 y 2 n  1  y 2 n )3
h4
E S 
( b  a ) f IV ( ),  [a , b]
180

Método de Simpson adaptativo
Simpson [a, b]
c=(a+b)/2
Simpson [a, c]
Simpson [c, b]
I=I1+I2

b a
f (a )  4f ( a 2b )  f (b)
I0 
6
a

c

b

c a
f (a )  4f ( a 2 c )  f (c)
I1 
6
b c
f (c)  4f ( c2b )  f (b)
I2 
6

Simpson simple
Función

Parábola

a

c

b

Simpson compuesta (2 int.)Función
Parábola

a

Parábola

d

c

e

b

Algoritmo de Simpson adaptativo
Entrada:
 Proceso:


f,a, b, tol, nivel

 Calcular

la estimación inicial de I0 por Simpson
simple en [a,b]
 Multiplicar tol por 10 (suficiente para la
precisión deseada)
 Refinar recursivamente la integral


Salida: I: Estimación de la integral

Refinamiento recursivo: (RR)
Entrada:

f,a, b,tol, nivel, I0

Proceso
Si nivel = 0, devuelve I0 (nivel excedido)


Si no
Evalúa I1 en [a,c] e I2 en [c,b]
Si abs(I0  I1  I2) > tol
I = RR(f, a, c, tol/2, nivel-1, I1) +
RR(f, c, b, tol/2, nivel-1, I2)
I= I1 + I2

Cuadratura adaptativa con
MATLAB


f.m
y



= 100*sin(10 ./ x) ./ x .^2

quad(' f ', 1, 3, 1e3 , 1)
 Simpson

adaptativo


quad8 Newton-Cotes

con 8 paneles

80
60
40
20
0
­20
­40
­60

1

1.5

2

2.5

3

Cuadratura de Gauss


Integral

b

I(f )  w ( x )f ( x ) dx
a

Fórmula
I n (f) c1f ( x1 )    c n f ( x n )
aproximada
 Nodos:x1, x2, ..., xn, ceros del n-ésimo
polinomio ortogonal pn(t)




Coeficientes c 
i

b
1
pn (x)
w (x)
dx

pn ' (x i ) a
x  xiCuadratura de Gauss-Legendre


Integral

1

I(f )  f ( x ) dx
1



Polinomios de Legendre
 p0(x)

=1

 p1(x)

=x

 p2(x)

= (3x2  1) / 2

...
 pk+1(x) = [(2k+1) x pk(x)  k pk1(x)] / (k+1)

Algoritmo iterativo de los
Polinomios de Legendre
Entrada: n: grado del polinomio
 Proceso


r = 1;
% Grado 0 (p0=1)
q = [1 0];
% Grado 1 (p1=x)
para k=1,2, …,n1
% Grado k+1
p = ((2*k+1)*[q 0] k*[0 0 r])/(k+1)
r = q;
q = p;
fin


Salida: p: vector de coeficientes de pn

Cuadratura de Gauss-Legendre


Coeficientes

ci 

n
nodos
n
nodos
2 0.5773502692
2 0.5773502692
3 0.7745966692
3 0.7745966692
0.0000000000
0.0000000000
4 0.8611361159
4 0.8611361159
0.3399810436
0.3399810436

2

1  x  p
2
i

'
n(x i )



2

coeficientes
coeficientes
1.0000000000
1.0000000000
0.5555555556
0.5555555556
0.8888888889
0.8888888889
0.3478548451
0.3478548451
0.6521451549
0.6521451549

Cálculo de los nodos y
coeficientes de Gauss-Legendre
Entrada: p: n-ésimo polinomio de Legendre
 Proceso


 Cálculo

de los nodos
nodos = roots(p)
 Cálculo de los coeficientes
dp = polyder(p,1);
y = polyval(dp, nodos);
coeficientes = 2./(1 nodos.^2) ./ y.^2;


Salida: nodos, coeficientes

Gauss-Legendre en [a, b]


Cambio de variable
b a
ba
t
x
,
2
2

b a
dt 
dx
2

b a 1 b a
ba
a f (t )dt  2  1 f ( 2 x  2 )dt
b



Fórmula de Gauss en [a,b]
b a n
ba 
b a
I n (f ) 
ci f 
xi 


2 i 1  2
2 

Algoritmo deGauss-Legendre


Entrada:



Proceso:

f, a, b, n

 Obtener

los nodos y coeficientes de la fórmula

de Gauss-Legendre de orden n.
 Escalar



los nodos en el intervalo [a, b]

Salida:
I

= (ba) / 2 * sum(coeficientes .* f(nodos))

Ejemplo: Gauss-Legendre
1.5

I (f )   e
1

 x2

dx

Resultados
n = 2 0.10940026119755
n = 3 0.10936419603200
n = 4...