Analisis Numerico

Análisis numérico

APROXIMACIÓN NUMÉRICA

Antecedentes
En 1947 se crea en la universidad de California el “INSITITUTO DE ANÁLISIS NUMÉRICO”. El análisis numérico es la rama de las matemáticas, cuyos limites no son del todo precisos, que se encarga de diseñar algoritmos para que a través de números y reglas matemáticas simples lograr simular procesos matemáticos complejos aplicados aprocesos del mundo real. Algoritmo es un procedimiento que mediante un número finito de pasos que pueden efectuarse de manera lógica nos pueden llevar a una solución aproximada de un problema. Existe una gran variedad de algoritmos (métodos numéricos) desarrollados desde la antigüedad para encontrar soluciones satisfactorias a modelos matemáticos que pueden representar una gran variedad de sistemasfísicos. ANÁLISIS NUMÉRICO Mezcla de matemáticas y ciencias de la computación crear algoritmo (métodos numéricos) Matemática Computación desarrollo de software

Análisis Numérico
La ciencia que nos permite obtener resultados de problemas representados en forma matemática utilizando procedimientos aritméticos. A la definición anterior hay quien agrega que es un arte, ya que se trata de seleccionarel mejor método para resolver un problema.

Ejemplo 1: Resolver el problema de encontrar la raíz cuadrada de un número positivo. Se puede resolver de: a) Método tradicional b) Tabulación

c) Utilizar la forma

Ejemplo 2: Multiplicación de 2 enteros positivos a) Sistema decimal b) Sistema binario 12 X 13 = 156

− B ± B 2 − 4 AC X 12 = 2A

d) Utilizar un método numérico de aproximaciones.c) Multiplicación Rusa

En el mundo real los datos con que se trabaja son inexactos, se basan en medidas y por lo tanto son aproximaciones. Exactitud. se puede definir como “que tan cerca estamos del valor real”, se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. Precisión. Cifras significativas que se toman en un resultado o para realizarcálculos. Cifras significativas. Sirven para designar la confiabilidad de un valor numérico. Certeza más un estimado Se puede hablar entonces de cifras significativas y cifras decimales significativas. El total de cifras significativas es independiente del punto decimal. Representación Numérica Punto fijo Punto flotante

Los errores que se presentan son de tres tipos:

Medición del error.
Valorexacto = valor aproximado ± error La forma de medir el error es error absoluto = valor exacto − valor aproximado error relativo = error absoluto valor real

ea = Vn +1 − Vn er = ea Vn +1

EJERCICIOS

1.

Los siguientes números provienen de una calculadora con una mantisa normalizada de cuatro dígitos

realizar las siguientes operaciones indicando el error absoluto y relativo en elresultado, suponga redondeo en el resultado final.

2. Sea la función

a) b)

c)

d)

Determine el valor exacto de f(x)=3.791 Calcule el valor de f(3.791) aplicando redondeo en cada operación intermedia usando cuatro dígitos decimales. Calcule el valor de f(3.791) aplicando truncamiento en cada operación intermedia usando cuatro dígitos decimales. Determine los errores absoluto y relativoque se cometen en los incisos b) y c)

3. Calcular el error absoluto y relativo, a) por truncamiento y b) por redondeo, de la fracción , considerando como verdadero el resultado aproximado a seis cifras decimales igual a 3.428571 … Considere que si se trunca a dos decimales, es decir 3.42, su expresión como fracción racional equivalente es , y si se redondea a dos decimales, es decir 3.43, suexpresión como fracción racional equivalente es .

4) ¿Cuántos términos son necesarios en la serie del coseno para calcular cos(18 ) con cinco cifras decimales correctas?. Considere errores por redondeo.

5) Suponga que se va a medir la longitud de un puente y un remache, obteniendo 9999 y 9 cms. Respectivamente, si los valores en plano son 10 000 y 10 cms. , calcule el error absoluto y el...