analisis numericos

CAPITULO II

INTERPOLACIÓN Y AJUSTE DE CURVAS

Introduccion

La aproximación de funciones es una de las ideas más antiguas del análisis
numérico, siendo ahora la más usada. Es fácil entender por qué razón se presenta esa
situación. Los polinomios son fácilmente computables, sus derivadas e integrales son
nuevamente polinomios, sus raíces pueden ser halladas con relativa facilidad.
Lasimplicidad de los polinomios permite que la aproximación polinomial sea
obtenida de varias maneras, entre las cuales se pueden citar; interpolación, método
de los mínimos cuadrados, mínimos y máximos, etc., por tanto es ventajoso sustituir
una función complicada por un polinomio que la represente.

Definición 4. El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga

una serie depuntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales.
Teorema 5.

Teorema de Weirstrass

Toda función continua pude ser arbitrariamente aproximada por un polinomio.

Interpolación polinomial

Por el término interpolación se entiende estimar el valor desconocido de una
función en un punto, tomando una medida ponderada de sus valores conocidos en
puntos cercanos al puntodado.
), principalmente, en las siguientes situaciones.

Los métodos de aproximación polinomial son usados como una aproximación
para una función

en algunos puntos

), se conoce sus valores solamente

, . . .. Esta situación ocurre con frecuencia en la práctica

No se conoce la expresión analítica de

cuando se trabaja con datos experimentales y es necesario manipular

), comopor

ejemplo, calcular su valor en un punto determinado, o su integral en un intervalo dado.

Análisis Numérico

Ing. Sergio Velásquez MSc.

), es extremadamente complicada y de difícil manejo. Entonces, a veces, es

interesante sacrificar la precisión en beneficio de la simplificación de los cálculos.
( )=

+

+

+

La clase de los polinomios algebraicos son una de la más usadaclase de
...

funciones reales de variable real de la forma:
, donde n es un entero no negativo y

son constantes reales. La razón de

su importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas; esto es, da una
función definida y continua en un intervalo cerrado, existe un polinomio que está tan
cerca de la función dada como se desee.

Teorema 6.

El problema de interpolacióngeneral tiene solución única si las n formas
lineales son linealmente independientes.

Teorema 7.

Si

Teorema de aproximación de Weierstrass

], con la propiedad de que

está definida y es continua en

definido en

|

)| < ,

], dado

]

> 0, existe un polinomio P,

El aspecto importante que presenta los polinomios en la aproximación de
funciones es la facilidad paradeterminar la derivada y la integral indefinida de
cualquier polinomio y el resultado es otra vez un polinomio. Esta es la razón por la
frecuencia de uso de los polinomios para aproximar funciones que se suponen
continuas.

Polinomios de interpolación
+ 1 números o puntos distintos, sean éstos reales o complejos

El problema general de interpolación por medio de polinomios consiste en,
,...,dado
=

números

tal que:

)

+ 1 puntos o números reales o complejos
,...,

que

en

) =

;

Análisis Numérico

+1

, determinándose un polinomio

general,
) =

son

; ...;

) =

valores

,..,

,

) de grado máximo n
de

una

función

Ing. Sergio Velásquez MSc.

,...,

Los polinomios de interpolación existen y son únicos, en la hipótesis deque los
puntos

Dados
valores
tal que:

(

sean distintos.

+ 1 puntos distintos
,...,

Teorema 8.
,...,

(reales o complejos) y

+ 1

existe uno y solo un polinomio de grado menor o igual a
)

(

= 0,1,2,3, … ,

Definición 5. Se llama polinomio de interpolación de una función y = f(x) sobre

un conjunto de puntos distintos x0,x1,x2, ...,xn, al polinomio de grado...