analisis pos optimo

An´
alisis pos-´
optimo.
Una vez resuelto un problema de Programaci´on Lineal, se obtienen los valores ´optimos de las variables
de decisi´on y de la funci´on objetivo. Existe, adem´as, una informaci´on adicional que puede ser valiosa a
la hora de analizar la soluci´on y c´omo es de sensible frente a posibles cambios. Todo este tipo de an´alisis
se conoce como an´
alisis pos-´
optimo, an´alisis de sensitividad o an´
alisis what-if. Para poder efectuar estos
an´alisis hay que interpretar correctamente los coeficientes de costo reducido, los precios duales (o precios
sombra) y los rangos de optimalidad de diferentes par´ametros. Todos estos valores son obtenidos por la
mayor´ıa de los programas que resuelven problemas de PL (LINDO, LINGO, WHAT’S BEST, AMPL,
CPLEX, XPRESS uotros).

Coeficientes de costo reducido de las variables.
Cada variable en un modelo de PL tiene asociado, adem´as del coeficiente de costo o beneficio en la
funci´on objetivo, un coeficiente conocido como el costo reducido. Mientras que el coeficiente objetivo es
un dato, y por lo tanto es conocido, el coeficiente de costo reducido s´olo es conocido despu´es de resolver
ep problema. Si lasunidades de la funci´on objetivo son Euros y las de las variables son, por ejemplo,
Toneladas, entonces las unidades del coeficiente de costo reducido de una variable son Euros por Tonelada.
El costo reducido de una variable admite dos interpretaciones. En la primera, el costo reducido de una
variable de decisi´on es, la cantidad en la cual el coeficiente en la funci´on objetivo de esa variabledeber´ıa
ser mejorado (aumentado para un problema de maximizaci´on y disminuido en uno de minimizaci´on) para
que la variable en cuesti´on tenga un valor positivo en la soluci´on ´optima. Obviamente, si una variable ya
aparece en la soluci´on ´optima con valor positivo, su costo reducido ser´a cero. Para que esta interpretaci´on
sea correcta hay que suponer que las variables no tienenrestrcciones de cotas superiores (si las hay, se
pueden poner como restricciones).
El costo reducido de una variable admite otra interpretaci´on correcta: es la cantidad en la cual la
funci´on objetivo var´ıa si esa variable, que actualmente vale cero, es forzada a aumentar una unidad. As´ı,
si una variable x tiene valor 0 y coste reducido -2 y estamos maximizando el beneficio, esto significa doscosas:
(a) si el beneficio/u asociado a x aumenta en 2 unidades entonces tomando x = 1 obtendr´ıamos otra
soluci´on con el mismo beneficio, y si el beneficio/u aumenta en 3 unidades obtendr´ıamos otra soluci´on
con m´as beneficio.
(b) si tomamos x = 1 y no cambiamos el beneficio/u asociado a x, la funci´on objetivo empeora
(disminuye) en 2 unidades.
En Mosel el coste reducido de una variable xes simplemente getrcost(x), o de forma equivalente
x.rcost. En la siguiente tabla aparece la soluci´on ´optima para un problema de minimizaci´on con 3
variables:
Variable
x1
x2
x3

Value
6.2
3.0
0.0

Reduced Cost
0.0000000
0.0000000
7.2000000

Se obseva que las variables x1 y x2 tienen valores positivos en la soluci´on y entonces tienen un costo
reducido de cero. ¿C´omointerpretamos que la variable x3 tenga un coeficiente de costo reducido distinto
de cero en la soluci´on ´optima? Obs´ervese que el valor de esta variable es 0.0. Con la primera interpretaci´on,
para que esta variable aparezca en la soluci´on ´optima su coeficiente de costo deber´ıa disminuir en 7.2
unidades. Y con la segunda, el coeficiente de costo reducido nos indica la cantidad en la que empeora lafunci´on objetivo si dicha variable es obligada a tomar un valor igual a 1. De esta forma, por cada unidad
que aumentemos el valor de la variable x3, la funci´on objetivo aumenta en 7.2 unidades.

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Precios duales o precios sombra de las restricciones.
Cada restricci´on de un modelo de Programaci´on Lineal tiene asociada una cantidad conocida con
varios nombres como: precio dual,...