Analisis Vectorial

Prof. Rosa N. Llanos Vargas

VECTORES EN Rn


Magnitudes físicas


Existen magnitudes físicas que quedan perfectamente definidas mediante un número expresado en sus unidades correspondientes. Ejemplos de este tipo de magnitud son: la masa m, volumen V, temperatura T, longitud de onda (, potencial eléctrico V, etc. A estas magnitudes se les denomina magnitudes escalares. Sin embargo, paradescribir adecuadamente ciertos sistemas físicos, deberemos hacer uso de otro tipo de magnitudes para las que, además de un escalar (número), hace falta indicar la dirección y el sentido. Se llaman magnitudes vectoriales o vectores. Por ejemplo, la velocidad [pic] (o v), la fuerza F, campo magnético B, etc. Vamos a ocuparnos de definir estas últimas y recordar las operaciones básicas que puedenllevarse a cabo con ellas.


Definición de vector en Rn

El conjunto de n-uplas de números reales , n [pic] 1 , se representa por Rn ; es decir

Rn = { ([pic]}

Los elementos de Rn se llaman VECTORES .Al vector ( a1, a 2, …, a n ) lo denotaremos por [pic], y el número real ai se llama i-ésima componente del vector [pic].

Notación. Los vectores se denotarán con letrasminúsculas con un flecha arriba tales como [pic], [pic]. Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como [pic], [pic], [pic]. En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como [pic], [pic].

En Rn definimos una relación de igualdad y dos operaciones .

Igualdad de vectores. Si [pic] = (a1, a2, …, a n ) y[pic] = (b1, b2, …, b n ) son vectores en Rn entonces
[pic] = [pic] [pic]a[pic]= b[pic] , para cada i = 1, 2,…, n

Adición de vectores. Es la operación que hace corresponder a cada par de vectores su suma .

Suma de vectores . Si [pic] = ( a1, a2, …, an ) y [pic] = ( b1, b2, …, b n ) son vectores en Rn entonces

[pic] + [pic] = ( a1+ b1, a2 + b2, …, a n + b n)Multiplicación de un vector por un escalar. Si[pic]es un número real y[pic]= (a1, a2, …, an ) es un vector en Rn , entonces
[pic] [pic] = ([pic]a1, [pic]a2, …, [pic]an )

Propiedades.
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
El elemento [pic] de R[pic], llamado vector cero, está dado por [pic] = ( 0, 0, …, 0 )
5. [pic]
El vector - [pic] ,llamado opuesto de [pic] , es - [pic] = (-1) [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]

Demostraremos solo una de las propiedades, la número 8, las demás se dejan para el lector.

[pic]( [pic] + [pic] ) = [pic][(a1, a2, …, an ) +( b1, b2, …, b n )]
= [pic][ ( a1+ b1, a2 +b2 , …, a n +b n ) ]
= [[pic](a1+ b1 ),[pic]( a2+ b2 )…, [pic]( a n+ b n )]
= ([pic]a1+ [pic]b1,[pic]a2 + [pic]b2 ,…, [pic]a n+ [pic]b n )
= ([pic]a1, [pic]a2 ,…, [pic]a n ) + ([pic]b1, [pic]b2 ,…, [pic]b n )
= [pic][pic]+ [pic][pic]
[pic][pic]( [pic] + [pic] ) = [pic][pic] + [pic][pic]

Definición. El conjunto Rn con la relación de igualdad y las operaciones de adición y multiplicación de vectores por un escalar, se llama espacio vectorial real n- dimensional.La expresión espacio vectorial Rn es referirá al espacio (Rn , + , R , . ) con las operaciones definidas anteriormente. Si n = 1 , 2 , 3 tenemos los espacios R , R ² y R3 , respectivamente.

Sustracción de vectores . La sustracción de vectores puede ser definida en términos de la adición de la siguiente manera.

Definición . Dados los vectores [pic] y [pic] de Rn ,

[pic] – [pic] =[pic] + ( - [pic] )
Es decir [pic] – [pic] = ( a1 - b1, a2 - b2 , …, a n - b n )

Definición . Dados los vectores [pic]1, [pic]2, …, [pic] k de R n y si [pic]1, [pic]2, …, [pic]k son escalares, el vector
[pic]1 [pic]1 + [pic]2 [pic]2 +…+ [pic]k[pic] k
Se llama combinación lineal de los vectores [pic]i con coeficientes [pic]i

Propiedades básicas
1. [pic]
2.[pic]
3.[pic]...