Analisis

ANÁLISIS NUMÉRICO
Considera el problema de contorno:
-ddxDx,ududxx-Vx,uxux+qx,uxux=f(x,ux+fpx ; a < x < b
Condiciones de contorno:
α1u´a+β1ua=g1
α2u´b+β2ub=g2
Donde:
D(x, u(x))=6X
V(x, u(x))= 3x si x≤0 x2 en caso contrario
q(x, u(x))=2x+4
f(x, u(x))= 2x si x≤0 x2 en caso contrario
α1=1.5 β1=3.4 g1=0
α2=0.2 β2=0.5 g2=2.5a=-3 Y b=3
La fuente puntual fp(x)= 0.25 si x=0.251 si x=0.50 en caso contrario

El problema anterior quiere resolverse mediante la técnica de elementos finitos isoparamétricos utilizando elementos de tipo P-1, con un mallado de N-ELEM elementos (como el que se recoge en la figura 1ª para el caso de N NODOS-1 elementos).

Se pide:
1º. Formulad variacionalmente elproblema anterior, especificando los espacios funcionales en los que se plantea el problema variacional.
2º. Obtened la aproximación del problema variacional obtenido en el apartado anterior, correspondiente al mallado empleado.
3º. Considerando como elemento de referencia el recogido en la figura 2ª:
3º-a) Escribid la expresión de las funciones de forma sobre el elemento de referencia yobtén la matriz de valores de las funciones de forma en los puntos de integración del elemento de referencia.
3º-b) Escribid la expresión de las primeras derivadas de las funciones de forma y obtén la matriz de valores de estas derivadas en los puntos de integración sobre el elemento de referencia.
3º-c) Obtened la expresión de la aplicación que transforma el elemento de referencia en unelemento que tuviese por nodos: si, si+1.
3º-d) Para el elemento considerado en el apartado 3º-c), obtened de forma detallada la matriz de rigidez elemental.
3º-e) Para el elemento considerado en el apartado 3º-c), obtened de forma detallada el vector de cargas elemental.
4º) Escribid un programa que resuelva el problema planteado, con el mallado correspondiente a N ELEM = 10.

Para laresolución del problema propuesto se utilizará el método de elementos finitos para resolver el problema de contorno formulado según la ecuación:
-(D(x,u(x))∙u´(x)-V(x,u(x))∙u(x)) ´+q(x,u(x))∙u(x)=f(x,u(x))+fp
Para el intervalo: a < x < b

1. Formulad variacionalmente el problema anterior, especificando los espacios funcionales en los que se plantea el problema variacional.Suponiendo la ecuación mencionada anteriormente, u(x) debe ser una solución de la ecuación, por lo que podrá existir una función w(x), de forma que u(x) continúe siendo solución de la ecuación.
Multiplicando w(x) por la ecuación se tendrá que:
ab-Dx,u(x)∙u´(x)-V(x,u(x))∙u(x)´w(x)∙dx+abqx,u(x)∙ux∙wx∙dx =abf(x,u(x))∙w(x)∙dx+abfp∙w(x)∙dx
Donde (D(x,u(x))=K(x), V(x), q(x) y f(x) son funcionesconocidas.
Utilizando la técnica de integración por partes para resolver la primera integral, se obtiene que:
p=wx dp=w´(x)dx p.dq=p.q-q.dpdq=D.u´+vu´dx q=D.u´-v.u

-w(x)∙Dx∙u´(x)-V(x)∙u(x)ab +abDx∙u´(x)-V(x)∙u(x)∙w´(x)∙dx+abqx∙ux∙wx∙dx =abf(x)∙w(x)∙dx+abfp∙w(x)∙dx

abDx∙u´(x)-V(x)∙u(x)w´(x)∙dx+abqx∙ux∙wx∙dx +Da∙u´a-Va∙ua∙wa-Db∙u´b-Vb∙ub∙wb=abf(x)∙w(x)∙dx+abfp∙w(x)∙dx

Para poder afirmar la existencia de una solución única de u(x), se deben establecer las condiciones de contorno, que según el enunciado serán:
α1u´a+β1ua=g1
α2u´b+β2ub=g2
Dichas condiciones serán transformadas para introducirlas en la ecuación. Para ello, de forma genérica y suponiendo con α1≠0 , se tendrá que:
αiu´j+βiuj=gi
Y separando u´j:
u´j+βiαiuj=giαi
Multiplicando por D(j),Dj∙u'j+Dj∙βiαi∙uj=D(j)∙giαi
Restamos Vj∙Uj a la ecuación:
Dj∙u'j-Vj∙Uj=Dj∙giαi-Dj∙βiαi∙uj-(Vj∙Uj)
Dándonos:
Dj∙u'j-(Vj∙Uj)=Dj∙giαi-[Dj∙βiαi+V(j)]∙U(j)
Obteniendo:
D(j)∙giαi=γj
-(D(j)∙βiαi+V(j))=μj
Por lo que para el primer contorno “j” será igual a “a” y en el caso del 2º contorno será “b”, nos quedarán las condiciones equivalentes de los contornos de la forma:...