Analitica

Capítulo 5

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ALGEBRA LINEAL EN CONTEXTO JOSE ARTURO BARRETO, M.A. THE UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN

Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Páginas Web: www.abaco.com.ve www.miprofe.com.ve www.abrakadabra.com.ve

Capítulo 5.

VECTORES EN R2, R3, Rn OBJETIVOS Al terminar este capítulo el estudiante estará encapacidad de: 1. Determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente. 2. Determinar si un conjunto de vectores es un subespacio y hallar al menos una base y su dimensión. 3. Determinar la dimensión de los espacios fila y/o columna de una matriz, calcular su rango y hallar bases de dichos espacios. 4. Expresar un vector en una base dada. 5. Transformar una base en una base ortogonalutilizando el proceso de Gram- Schmidt 6. Expresar un vector en una base ortogonal u ortonormal. 7. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por mínimos cuadrados

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LOS ESPACIOS VECTORIALES R2, R3, Rn 5.1. Vectores y operaciones Vectores en R2 Unvector o vector fila es una pareja ordenada (x , y) donde x e y son números reales. El conjunto de todos los vectores { (x,y) | x ε R , y ε R} se denomina R2. Sobre un eje de coordenadas se representan por flechas con origen en (0,0) y extremo en (x,y). Para distinguir a los vectores y diferenciarlos de las coordenadas de sus extremos, que se denotan de la misma manera, usaremos la siguiente notaciónv = (x,y), denota al vector y V (x,y) , denota el punto extremo , de aquí en adelante por v.

Por comodidad tipográfica denominaremos al vector v y Y V(x,y) v X x

En el conjunto R2 , definimos las operaciones suma de vectores, resta de vectores, y multiplicación por un número real., así: Suma: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimos Resta: Si u = (u1, u2) y v = (v1, v2), definimosMultiplicación por un número real: Suma: Ejemplos u = (2, 1) y v = (1, 3), u + v = (2 + 1, 1 + 3) = (3,4) u - v = (2 - 1, 1 - 3) = (1,-2) v - u = (1 - 2, 3 - 1) = (-1,2) 3u = ( 3×2,3×1) = (6,3) -u = -1(2,1) = (-2,-1) (1/3) v = 1/3 (1,3) = (1/3,1) Si v = (v1, v2), y c ε R, definimos c v = (c v1, c v2) u + v = (u1 + v1, u2 + v2) u - v = (u1 - v1, u2 - v2)

La resta es realmente una suma, ya que porejemplo, u – v = u + (- v) = (2, 1) + (-1,-3) = (2-1,1-3) = (1, -2) Aceptaremos los siguientes principios o propiedades de las operaciones así definidas: u+v = v+u Propiedad conmutativa u + (v + w) = (u + v) + w Propiedad asociativa u+0=0+u=u 0 es el elemento neutro 0 = (0,0). v + (-v) = 0 y –v + v = 0 Para cada vector v existe un opuesto aditivo -v c (u + v) = c u + c v Ley distributiva mixta (α + β) v= α v + βv, α ε R, β ε R Ley distributiva mixta c ( d u ) = (cd) u. Ley asociativa mixta 1. v = v 1 ε R, es el elemento neutro con respecto a (.) 2 la estructura de espacio vectorial. Estas operaciones con sus leyes le dan a R

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Gráficamentelas operaciones de suma y resta se representan y efectúan gráficamente siguiendo la conocida ley del paralelogramo, como lo demuestran las siguientes figuras. Y v u+v u -u X -v v v u-v u u-v

Notese que el vector u-v es paralelo y está en la dirección de la flecha que va de v a u, y no de u a v. La multiplicación de un vector v por un escalar, produce un vector que es una “contracción” o“dilatación” del vector dado, en su misma dirección, como se muestra en la figura λv 0 v Vectores en R3
λ>0

λ >

λv

Genelarizaremos algunos de los resultados obtenidos sobre vectores en R2 (el plano X-Y) a vectores en el espacio de 3 dimensiones X-Y-Z. o espacio R3 . Un punto de coordenadas P(x,y,z) puede reprersentarse en el espacio tal como se muestra en la figura, donde (x,0,0), (0,y,0) y...