andres

TRIGONOMETRIA

1. Razones trigonométricas de triángulos rectángulos:
Ejemplo 1:
Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.
Procedimiento:
Trazando el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado que se desea calcular, tenemos:

Seleccionamos una razón trigonométrica querelacione al ángulo y lado conocidos con el lado que se desea calcular:

Despejamos algebraicamente la letra que representa el lado que se desea calcular, dando como resultado:

Reemplazando los valores numéricos de acuerdo con los datos, tenemos:

Obteniendo como resultado:

c = 5 m
Por lo tanto, la escalera mide 5 m.

Ejemplo 2:
Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto conun cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m

Procedimiento:
Seleccionamos la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo que queremos hallar:

Reemplazando los valores numéricos, tenemos:

Efectuando la división indicada obtenemos:
Cos B = 0.5454
Observando en las tablas de funciones trigonométricas o conla calculadora, el valor del ángulo será:

De modo que, el ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56° 57'.

Ejemplo 3:
Un ángulo agudo tiene . Halla las restantes razones trigonométricas de este ángulo.
Procedimiento:
Por teorema de Pitágoras buscamos el otro cateto del triángulo, es que es 4. Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonométricas y encontramos:Ejemplo 4:
Calcula las razones trigonométricas del ángulo α:
Procedimiento:
Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.                                  
 
Ejemplo 5:
Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo:
Procedimiento:
Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.
Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula;    es decir a = 14 m,b = 8 m y c es el lado que queremos calcular





Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:
a2 = b2 + c2 → 142= 82 + c2   → 196 = 64 + c2  → 196 - 64 = c2   → 132 = c2      
Luego c = 11, 49 m, por tanto las razones trigonométricas serán:
 
 


2. Identidades trigonométricas fundamentales:

Ejemplo 1:

Solución:



Ejemplo 2:

Solución:



Ejemplo 3:Solución:

Ejemplo 4:

Solución:


Ejemplo 5:

Solución:


3. Aplicaciones de las razones trigonométricas

Ejemplo 1:
Desde un faro, a una altura de 49 m, se observa un velero con un ángulo de depresión de 15º 30’. ¿A qué distancia de la base del faro se encuentra el velero?

Solución:

tan(74º30’) =  d  :  49  m
       d  = 3,606 . 49 m  
       d = 176,69 m

El velero seencuentra a 176,69 m de la base del faro.

Ejemplo 2:
Se colocaron cuatro alambres de suspensión para una antena de transmisión y cada uno fue sujetado formando un ángulo de 72º con el piso.

Si se utilizaron en total 150 m de alambre, ¿cuál es la altura de la 
antena?

Solución:



sen  72º  =  h   :  37,5  m
 0,951 =   h  :  37,5
h =   0,951*37,5
     h  =  35,67 m      

Laantena tiene una altura de 35,66 m.

Ejemplo 3:
Desde la cima de un faro de 7m de alto, se observa un barco con un ángulo de depresión de 30º, como lo muestra la siguiente figura. Calcular la distancia desde la cima del faro hasta el barco.
Solución:











Se tienen los siguientes datos:

El ángulo de la base del triángulo es 30º puesto que la...