angulo entre 2 Vectores (x,y,z)

Segunda Parte: Producto escalar de vectores
Construcciones y vectores
En el diseño del techo de una galería se emplea un semicílindro, que se sostiene a través de
vigas que se cruzan en distintos puntos sobre el techo. En la figura, se muestra un corte
transversal del diseño:

C

B

A
r

D

O

E

Por razones de construcción se necesita determinar el valor de la medida de losángulos que
surgen en los puntos donde se sostiene cada par de vigas: ABE , ACE y ADE . ¿Cuál es
la medida de estos ángulos?

Introducción
Recordemos que en la primera parte de la presente unidad, hemos planteado como situación
real que necesita de un modelo matemático para ser explicada, el caso de dos pintores que
desplazan un escritorio para poder pintar una pared. Ahora, siguiendo con elproblema
planteado, el escritorio se encuentra donde querían llevarlo, la pared a pintar esta libre pero
Ramón y Simón están cansados y se los escucha decir “¡Que trabajo! “.
Si, efectivamente, realizaron trabajo al desplazar el escritorio e intuitivamente, podemos ver
que cuanto mayor sea la fuerza aplicada el trabajo realizado será mayor, así como también
cuanto mayor sea el desplazamientomayor será el trabajo.
Si las magnitudes que intervienen en el caso propuesto: fuerza y desplazamiento fueran
magnitudes escalares, un buen modelo físico matemático para definir el trabajo (que siempre
es una magnitud escalar) seria el siguiente: L = F ∆x (1), donde F es la fuerza aplicada y ∆x
el desplazamiento realizado.

1

Lamentablemente, en el ejemplo ni F ni ∆x son magnitudesescalares, así que si admitimos la
definición (1), debemos suponer que existe una operación entre vectores que dé como
resultado un escalar. Esta suposición es válida y el modelo matemático que resuelve el caso
se denomina: producto escalar entre vectores.
En esta sección del módulo, estudiaremos el producto escalar entre vectores
Propósitos
En consecuencia, será muestra intención que cuandofinalice la lectura de la segunda sección
de la unidad: Vectores, pueda dar respuesta a las siguientes preguntas:
•

¿Cuáles son las formas de cálculo del producto escalar entre vectores?

•

¿Qué propiedades tiene el producto escalar entre vectores?

•

¿De qué manera se puede hallar la medida del ángulo que definen dos vectores
considerados con origen en un mismo punto?

•

¿Cómo sedetermina si dos vectores son perpendiculares?

•

¿Cómo se determina la proyección escalar y el vector proyección ortogonal de un vector
sobre la dirección de otro vector?

•

¿A qué se denomina componente ortogonal? y ¿cómo se cálcula la misma?
A medida que avance en la lectura, recuerde estas preguntas
ya que ellas son la guía de su estudio.

Producto escalar
Sean u y v dosvectores, y sea θ en ángulo entre u y v, entonces el producto escalar entre u y
v se define como el producto entre las normas de los vectores y el coseno del ángulo
determinado entre ellos. En símbolos:
u•v = u

v cos θ

D
Observación: Se entiende por el ángulo θ entre los vectores u y v, al ángulo que satisface
0≤θ≤π
Por ejemplo:
u
θ
u
v
u
θ
θ
v
v

2

Ejemplo:
Sean los vectoresu = (1;1;0) y 0 = (0;0;0), y los versores i = (1;0;0) y k = (0;0;1),
entonces:
u•0 = u

0 cos θ = 0, puesto que:

0 =0

u • u = 2 . 2 . cos 0° = 2

i • k =1.1. cos 90° = 0

u • i = 2 .1. cos 45° =1
i • i = 1.1. cos 0° =1

Ejercicio
1. Obtener la incógnita que se pide en cada caso:
a) la norma del vector u si: u • v = 12 , v = 2 y θ = 30°

b) el ángulo θ entre los vectores u y vsi: u • v = 3 ,

v= 2y

u= 3

Propiedades del producto escalar entre vectores
1. Si u = 0 ó v = 0 entonces el producto escalar entre u y v es: u • v = 0
2. El producto escalar entre vectores es conmutativo: u • v = v • u
3. El producto escalar entre vectores es distributivo respecto de la suma de vectores:

u • ( v + w) = u • v + u • w
4. Extracción de un escalar del producto...