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ÁLGEBRA DE VECTORES

REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE UN VECTOR
En general un vector es objeto matemático que obedece un conjunto de axiomas; pero para propósitos de la Geometría Vectorial un vector es un SEGMENTO DE RECTA DIRIGIDO, ES DECIR QUE TIENE UNA DIRECCIÓN. Este segmento de recta se representa como una flecha a fin de evitar ambigüedades respecto de la dirección. Como es un segmento derecta, tiene una longitud, que representa su magnitud.
r2
r1
θ2
l2
l1
θ1
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR EN EL PLANO:



Escriba aquí la ecuación.
REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA
r1 = l1 , θ1 r2 = l2 , θ2
A la longitud l de un vector también se le llama magnitud del vector, aunque en estas notas se utilizarámas la palabra longitud. A la longitud de un vector generalmente se le denota como:
l = r = r
en estas notas se utilizarán las tres notaciones según se requiera:
r = l , θ = r , θ = r , θ
La magnitud r de un vector siempre es un número positivo o cero:r ≥ 0

IGUALDAD DE VECTORES:
Se dice que dos vectores:
r1 = r1 , θ1 y r2 = r2 , θ2
son iguales:
notación;
r1 = r2
si y solamente si:
r1 = r2 y θ1 = θ2
o sea, dos vectores son iguales solamente si tienen la mis longitud y la misma dirección

SIGNIFICADO DE LOSVECTORES:
Los vectores representan cantidades que tienen varias componentes y por lo tanto son muy utilizados. Por ejemplo, en Física los vectores representan cantidades tales como la posición de un punto en el espacio, un desplazamiento de posición, una velocidad, una aceleración y otras cantidades mas. En geometría vectorial se va a utilizar el hecho de que un vector representa una posición, undesplazamiento y una dirección.

OPERACIONES CON VECTORES.
Puesto que los vectores representan cantidades es necesario realizar operaciones con ellos, tales como la suma, la resta y los productos vectoriales. Por lo tanto, se requiere conocer las reglas para realizar esas operaciones. Este tema constituye el ÁLGEBRA DE VECTORES. En lo que sigue se estudiara la forma en que se realizan lasoperaciones con vectores y aplicaciones de esas operaciones a la Geometría.













SUMA DE VECTORES
LEY DEL TRIÁNGULO

Sean los vectores :
r1 = r1 , θ1 y r2 = r2 , θ2
con representación gráfica:
r1


r2
r1

r2
θ1

θ2


r2 = r2 , θ2
r1 = r1 , θ1Se pide realizar la suma de ambos vectores :
r3 = r1 + r2
donde:
r3 = r3 , θ3

Las cantidades r3 y θ3 son desconocidas pero se pueden determinar por medio de la escuadra, la regla y el transportador utilizando el procedimiento siguiente:

Primer paso:
Con la regla, la escuadra y el transportador se dibuja r1 conservando su longitud y dirección y dondetermina r1 se dibuja r2 también conservando su longitd y dirección:

r2

θ2

r2


θ1


Segundo paso:
r3 es el vector que va del principio de r1 al final de r2:
r3
θ3






r3 se mide con la regla y θ3 con el transportador.

CALCULO DE r3 y θ3 UTILIZANDO LA GEOMETRÍA Y LA TRIGONOMETRÍA.

Si seobserva con cuidado la figura siguiente:

θ
r3
r2
r1

LEY DE LOS COSENOS:
LA LEY DE LOS COSENOS DICE QUE SI EN UN TRIÁNGULO ARBITRARIO SE CONOCEN DOS LADOS, a y b, Y EL ÁNGULO θ, ADYACENTE A ESOS LADOS, ENTONCES EL LADO OPUESTO A θ, c, ESTA DADO POR LA ECUACIÓN:
c2 = a2 + b2 - abcosθ
Aplicando esta ley al triangulo anterior, se debe cumplir que:
r32 = r12 + r22 - 2 r1r2cosθ...