análisis de correspondencia

Análisis de Correspondencias
Introducción
El análisis de correspondencias es una técnica descriptiva para representar tablas de
contingencia. Los datos de partida para el análisis de correspondencias es una matriz X
de dimensiones n × k que representa las frecuencias absolutas observadas en una tabla de
contingencia de dos variables, donde la primera se representa por filas y tiene ncategorías
y la segunda por columnas y tiene k categorías. Por ejemplo, clasificamos un conjunto
de estudiantes en n posibles procedencias geográficas y k posibles opiniones respecto a
la docencia. En general, el elemento xij de la matriz X representa la frecuencia absoluta
observada en la casilla (i, j) de la tabla de contingencia.
La metodología la desarrolló Benzecri, a principios de los años 60 delsiglo XX en la
Universidad de Renner (Francia). En esencia. es un tipo especial de análisis de componentes principales pero realizado sobre una tabla de contingencia y usando una distancia
euclídea ponderada llamada chi-cuadrado.
Ejemplo: supongamos 400 tiendas de discos repartidas entre los países de la U.E. Se
clasifica a los compradores en 3 categorías distintas: Jóvenes, Edad Media,Mayores, y a
los tipos de música en 5 tipos:
A = Música disco
B = Rock’n’roll y música americana
C = Pop y música inglesa (melódicas)
D = Jazz y música autóctona
E = Clásica
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Así, se tienen dos variables categóricas: Compradores y Música:
Jov Med May Total
A
70
0
0
70
B
45
45
0
90
C
30
30
30
90
D
0
80
20
100
E
35
5
10
50
Total 180 160
60
400
Cada uno de losentrevistados sólo valora un tipo de música, es decir, aparece en solo
una de las casillas de la tabla.
Se puede definir el perfil de una tabla como el conjunto de las frecuencias de una fila
o de una columna dividido entre el total de la fila o columna.
¡
¢
Por ejemplo, las frecuencias del tipo de música B son 0,5 0,5 0 ya que teníamos
¡
¢
45 45 0 y el total es 90. Así se obtiene:
Jov Med May
A1
0
0
B
0.5
0.5
0
C
0.33 0.33 0.33
D
0
0.8
0.2
E
0.7
0.1
0.2
Total 0.45 0.40 0.15
Se puede ver que un 45 % de compradores es Joven, 40 % Medianos y 15 % Mayores.
También se puede ver por tipos de música, por ejemplo en el tipo E el reparto de edades
difiere de la media: (70 % frente a 45 % en Jóvenes, 10 % frente a 40 % en Medianos).
Si se considera el análisis de lascolumnas, es decir, en vez de centrarnos en los tipos de
música, nos centramos en las edades, se pueden considerar también perfiles columna. Así,
por ejemplo de los 160 compradores en el caso de los de mediana edad, un 50 % compra el
tipo de música D en vez del porcentaje general del 25 %. Es decir, con la tabla completa:

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A
B
C
D
E

Jov Med Jub Total
0.39
0
0
0.175
0.25 0.28
00.225
0.17 0.19 0.50 0.225
0
0.50 0.33 0.25
0.19 0.03 0.17 0.125

Se pueden establecer visualmente relaciones entre los porcentajes de las categorías,
tanto por filas como por columnas y representar las categorías de las filas según un espacio
tridimensional determinado por las tres categorías de grupos de edad. Esto se denomina
representación baricéntrica.
En el caso del ejemplo se puedehacer la representación dado el escaso número de
categorías, pero se hace necesario encontrar un sistema de representación que disminuya
el número de dimensiones mediante proyecciones. Una forma de hacerlo es usar las técnicas
de multidimensional scaling.
Esencialmente, el análisis de correspondencias se puede considerar una aplicación del
multidimensional scaling usando una distancia específicaque se puede usar para datos
categóricos. Dicha distancia se denomina distancia chi cuadrado.

Independencia
Si el hecho de que aparezca o se presente una categoría junto con otra no es ni más
ni menos probable de que se presenten las dos categorías por separado, se dice que las
variables son independientes y, en general, se dice que la tabla es homogénea.
Así, dadas dos variables...