Análisis Ii

Rotacional y Divergencia
En este tema se definen dos operaciones que se pueden ejecutar con los campos vectoriales y que desempeñan un papel fundamental en las aplicaciones del cálculo vectorial al flujo de fluidos y a la electricidad y magnetismo. Cada operación es similar a la derivación, pero una genera una vectorial y la otra proporciona una campo escalar.
ROTACIONAL:
Si F=Pi+Qj+Rk es uncampo vectorial sobre R3 y existen las derivadas parciales de P, Q y R, entonces el rotacional de F es el campo vectorial sobre R3 definido por:
rot F=∂R∂y- ∂Q∂zi+ ∂P∂z- ∂R∂xj+ ∂Q∂x- ∂P∂yk

Para recordar mejor el rotacional F, se puede considerar el desarrollo del siguiente determinante:
∇×F=ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR
donde el operador diferencial vectorial ∇ (“nabla”) se define como:
∇=∂∂xi+∂∂yj+∂∂zkResolviendo el determinante tendríamos:
∇×F=∂R∂y- ∂Q∂zi+ ∂P∂z- ∂R∂xj+ ∂Q∂x- ∂P∂yk=rot F
Por lo tanto, la manera más sencilla de recordar la definición es por medio de la expresión simbólica:

∇×F=rot F

Ejemplo:
Si Fx,y,z=xzi+xyzj-y2k, determine el rotacional de F.
∇×F=rot F=ijk∂∂x∂∂y∂∂zxzxyz-y2
=∂(-y2)∂y- ∂(xyz)∂zi- ∂(-y2)∂z- ∂(xz)∂xj+ ∂(xyz)∂x- ∂(xz)∂yk
=-2y-xyi-0-xj+yz-0k=-y2+xi+xj+yzk

Propiedades:
1. Si f es una función de tres variables que tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces:

rot∇f=0
Demostración:
∇×∇f=rot ∇f=ijk∂∂x∂∂y∂∂z∂∂x∂∂y∂∂z
=∂2f∂y∂z- ∂2f∂z∂yi- ∂2f∂z∂x- ∂2f∂x∂zj+ ∂2f∂x∂y- ∂2f∂y∂xk
=0i+0j+0k=0,
de acuerdo con el teorema de Clairaut.
Puesto que un campo vectorialconservativo es uno para el cual F=∇f, esta propiedad puede enunciar la siguiente:
2. Si F es conservativo, entonces rot F=0

Esto proporciona una forma de verificar que un campo vectorial no es conservativo.

Ejemplo:
Demuestre que:

Fx,y,z=y2z3i+2xyz3j+3xy2z2k
es un campo vectorial conservativo.

Calculamos el rotacional de F:

rot F=∇×F=ijk∂∂x∂∂y∂∂zy2z32xyz33xy2z2=6xyz2-6xyz2i-3y2z2-3y2z2j+2yz3-2yz3k
= 0
Puesto que rot F=0 y el dominio de F es R3, F es un campo vectorial conservativo de acuerdo con la propiedad.

DIVERGENCIA:
Si F=Pi+Qj+Rk es un campo vectorial sobre R3 y existen ∂P∂x, ∂Q∂y, ∂R∂z entonces la divergencia de F se denota por div F, o por ∇.F, y esta dado por:

div F=∇.F= ∂P∂x+∂Q∂y+ ∂R∂z
Observe que el rotacionalF de es un campo vectorial, pero div F es un campo escalar.
Ejemplo:
Si Fx,y,z=exsinyi+excosyj+zk, determine su divergencia.
div F=∂∂xexsin⁡(y)+∂∂yexcosy+ ∂∂zz
=exsiny-exsiny+1
=1
Propiedades:
1. Si F=Pi+Qj+Rk es un campo vectorial sobre R3 y P,Q y R tiene derivadas parciales de segundoorden, entonces:

div rot F=0

Demostración: Al aplicar la definición de divergencia y rotacional
div rot F=∇.(∇×F
=∂∂x∂R∂y- ∂Q∂z+ ∂∂y∂P∂z- ∂R∂x+ ∂∂z∂Q∂x- ∂P∂y
=∂2R∂x∂y- ∂2Q∂x∂zi+ ∂2P∂y∂z- ∂2R∂y∂xj+ ∂2Q∂z∂x- ∂2P∂z∂y

=0, porque los términos se anulan en pares según Clairaut.

2. Si fx,y,z es un campo escalar, la divergencia de su campo vectorialgradiente ∇f, esta dado por:

div∇f=∇.∇f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2

Expresión que se suele abreviar como ∇f2, en donde al operador ∇f2, se le denomina como operador de Laplace.

Teorema de Stokes
Relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera s
Definición: Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por unacurva C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R3 que contiene a S. Entonces:

CF.dr=Srot F.dS=Srot F.nds

El teorema de Stokes establece que la integral de línea alrededor de la curva frontera s de la componente tangencial de F es igual a la...