Aplicación de las ecuaciones diferenciales

Introducción

Una ecuación diferencial es aquella expresión matemática que contiene derivadas o diferenciales.
Se utiliza el lenguaje de las ecuaciones diferenciales para los hechos y datoscambiantes.


Ordinarias contienen derivadas respecto a una sola variable independiente
Tipos
Parciales contienen derivadas respecto ados o más variable



Orden





Grado




Objetivo
Utilizar una ecuación diferencial para encontrar la concentración de NaCl en una cubeta con una entrada de flujo constante deagua, y una salida constante.

Problemática

En una cubeta con 5 l de agua se han disuelto 10 g de NaCl, entran 2 l de agua por minuto y salen 2l de agua en el mismo tiempo. Se desea saber laconcentración de sal (Q) en un tiempo (t).





Buscar la función:
Q(t)= ?
V(t)=(A-B)t+Vo
dQ/dt=A.C-B.Q/(V(t))

Se van deduciendo a medida que el problema va apareciendo (aquí se dedujo elmodelo general)
dQ/dt=2(1)-2Q/5
Sustitución en la segunda ecuación:
Q´=A.C-(B.Q)/((A-B)t+Vo) Valores dados
dQ/dt+2Q/5=2 se utiliza para resolver el factor integrante
Formula pare el factorintegrante:
e^∫▒〖p(x)dx〗
e^∫▒〖2t/5 dt〗
e^(2t/5) dQ/dt+e^(2t/5) 2Q/5=2e^(2t/5)
d/dt (e^(2t/5).Q)=2e^(2t/(5 )) se integra de ambos lados con respecto a t
e^(2t/5).Q=∫▒〖2e^(2t/5) dt〗
=2e^(2t/5)/(2/5)
=5e^(2t/5)+c

Q=5+ce^((-2t)/5) Resultado de Q.

Ahora encontraremos a C que es la constante:
10=5+c
c=5
Con el valor encontrado de la constante ahora sustituimos en la siguienteecuación Q(t)=5+5e^((-2t)/5)
Q(0)=5+5e^((-2(0))/5)
Q(0)=10
Como podemos observar hemos encontrado el valor de Q(0), y este es igual a 10.

Conclusión.
Tenemos entonces que la concentración desal no varía, aunque el flujo de agua sea constante. Debido al uso de las ecuaciones diferenciales, se pueden comprender y desarrollar los fenómenos que se llevan a cabo en nuestro alrededor....