Aplicación del Teorema Fundamental del Calculo

AING 20 de mayo de 2015
ING.Cutberto Enriquez Rivera Grupo: 6104
Diana Annel Martínez Corro
RA.2.1: Cálculo de integrales definidas mediante fórmulas directas y métodos.
Tema: B) Aplicación del Teorema fundamental del cálculo.
 Definición.Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
Elteorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas comoformas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental delcálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.


 Fórmulas directas
Estas Integrales son las que se pueden aplicar directamente tomandolos como el primer metodo de integracion:


1.∫kdx=kx +c
2.∫1/xdx=ln(x)+ c
3.∫xndx= xn+1/n+1+c
4.∫exdx=ex + c
5.∫axdx=ax/(ln (a))+c para a>0
6.∫senx dx=-cos (x) +c
7.∫cosx dx= sen (x)+c8.∫sec2x dx=tan(x)+c
9.∫csc2xdx=-cot(x)+c
10.∫tanx secxdx=sec(x) +c
11.∫cotx cscx dx=-csc(x) +c
12.∫1/√1-x2 dx=arcsen(x) +c
13.∫1/1+x2dx=arctan(x+)c
14.∫1/IxI√x2-1dx=arcsec(x) +c
 Cálculo de integrales definidas por métodos.
La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma: 
1. Se escoge una función f(x) yun intervalo [a, b]. 
2. Se halla una primitiva de f, es decir, una función F tal que F' = f. 
3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración, 

4. Por tanto, el valor de la integral es F(b) − F(a). 
Nótese que la integral no es realmente la primitiva, sino que el teorema fundamental permite emplearlas primitivas para evaluar las integrales definidas. 

 Por cambio de variable.
Esta técnica no es otra cosa que  la regla de la cadena de   las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estarpresente en su  integral.
∫f(gx) g!x dx = F(gx) + C




 


 Por partes.
El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación

d(u.v) = u dv + v du

por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si.


∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du   (se integra en ambos lados de la fórmula)


(u.v) = ∫udv + ∫v du (resolviendo la integral)

∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmula de  la integración por partes)

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera


1.- En la parte que...