Aplicaci N De Las Escuaciones Diferenciales En La Administracion

“Universidad Politécnica Salesiana”

Matemática aplicada 3

Tema: Aplicación de las
Ecuaciones diferenciales
Integrantes:
Miguel Gaibor
Marcelo Borja
Johanna Benavides

Aplicación de las ecuaciones diferenciales en la Administración

Introducción: El presente trabajo trata de la aplicación de los diferentes tipos de clasificación de las ecuaciones diferenciales a la Administración deEmpresas, se estudiara resumidamente sobre cada uno de los casos y aplicaremos al final en un ejercicio didáctico.
Ecuaciones Diferenciales: Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si lafunción desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial.
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:

Y un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:

El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada.
Ejemplo





Grado de una ecuación diferencial

El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponentedel mayor orden de su derivada.

Ejemplos.-

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.




Solución de una ecuación diferencial
Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al sersustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.
En ocasiones, la solución de las ecuaciones diferenciales puede realizarse con procesos de simple integración, también puede hacerse con procesos de derivación, en otros casos se los puede resolver con artificios matemáticos que dependerán de la forma general de las ecuaciones, y en otras se las hará mediante casos especiales de lasecuaciones especiales.










Función primitiva de una ecuación diferencial

Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas.

Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial

La expresión es una "función primitiva" de la ecuación diferencial.

Verificación

Observación:

Al derivar la función primitiva se reproduce exactamente la ecuación diferencial.





Ecuaciones convariables separadas:

Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

Resolución.







Ecuaciones homogéneas

Algunas ecuaciones diferenciales se pueden reducir a ecuaciones de variables separables mediante un cambio de variables. Por ejemplo, una ecuación de la forma

Donde a y b son constantes, se pueden reducir a ecuaciones separables mediante la sustitución z = ax + by. Enefecto
,
De donde, realizando la sustitución obtenemos

En la ecuación anterior podemos separar variables dividiendo entre a + bf(z),

Integrando obtenemos

Ejemplo
Resuelva la ecuación

Esta ecuación es homogénea porque y xy son homogéneas de grado 2. Luego la escribimos en la forma

Y si aplicamos el cambio de variables y = vx, tenemos

Ahora, separamos las variables

E integramos

Donde C1es una constante arbitraria. La constante C se pude sustituir por ln C, con C > 0, si hacemos 2C1 = ln C. Entonces de esta ultima ecuación obtenemos

Por ´ultimo, sustituimos v con y/x y obtenemos la solución en la forma

Ecuaciones Exactas:
Se llama diferencial exacta en un dominio D si existe una función F de dos variables tal que esta expresión es igual a la diferencial total dF(x, y) para todo(x, y) ∈ D, es decir, si existe F tal que

para todo (x, y) ∈ D. Si la expresión M(x, y) dx + N(x, y) dy es una diferencial exacta, entonces decimos que

es una ecuación diferencial exacta. Ahora suponga que y es una solución de la ecuación anterior entonces

Por lo tanto

Donde C es una constante. Recíprocamente, si y(x) es una función que satisface la ecuación, derivando tendremos dF(x,...