APLICACI N DE LA ECUACI N DIFERENCIAL DE RICCATI

APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI
La ecuación de Ricatti: Es una forma particular de la ecuación de Bernoulli, por lo tanto su principal aplicación es en la hidrodinámica, es decir permite relacionar, velocidad, presión, densidad en un fluido contenido por una tubería con cambios de nivel y de sección transversal.
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI
Recibe el nombre de ecuación deRiccati toda ecuación diferencial de la forma:



En general, esta ecuación no se integra en cuadraturas la búsqueda de la solución no puede reducirse a un número finito de integraciones sucesivas.
Si se conoce una solución particular, y1(x), entonces, introduciendo una nueva variable z tal que:



La ecuación diferencial deRiccati se reduce a una ecuación diferencial lineal puesto que podemos poner:



Y sustituyendo en (R1):




Pero teniendo en cuenta que y1 es solución de (R1) se verificará:



Por lo que sustituyendo y simplificando tendremos:




Que es unaecuación lineal en z. 
Integrada esta última ecuación y hallada z, se podrá pasar a y por la equivalencia dada.

Si se conoce otra solución más, y2, de la ecuación diferencial del Riccati, entonces:




Es una solución particular de la ecuación lineal para la variable z, lo cual nos permite simplificar su integración.

Si para la ecuación diferencial de Riccati se conocen tres solucionesparticulares y1, y2 e y3, entonces su integral general es:




Resultado que se puede enunciar diciendo que la razón doble de cuatro integrales particulares de la ecuación diferencial de Riccati es constante. 




ALGUNAS APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
Introducción:
La ecuación de Bernoulli es uno de los pilares fundamentales de la hidrodinámica; son innumerables los problemas prácticos que seresuelven con ella:
• se determina la altura a que debe instalarse una bomba
• es necesaria para el calculo de la altura útil o efectiva en una bomba
• se estudia el problema de la cavitación con ella
• se estudia el tubo de aspiración de una turbina
• interviene en el calculo de tuberías de casi cualquier tipo
Salida por un orificio: ecuación de Torricelli
El deposito de la figura contiene unliquido, y tiene en la parte inferior un orificio (O) provisto de una tubería (T) que termina en una válvula (V):
• la superficie libre del deposito se mantiene a una altura (H) constante con relación al plano de referencia (Z = 0) gracias a que en el deposito entra un caudal (Q) igual al que sale por la tubería
• el área de la superficie libre es suficientemente grande para que pueda considerarse lavelocidad del fluido (V1 = 0)
• en el punto 1, la energía geodesica (Z1 = H)
• se despreciaran las perdidas
Ecuación de Torricelli: V = V2 =
Apliquemos entre los puntos 1 y 2 la ecuación de Bernoulli:
P1/Pg + Z1 + V21/ = P2/Pg + Z2 + V22/ 2g
O sea
O + H + O = O + O + V22/ 2g
Porque en 1 y 2 la presión atmosférica o barométrica es igual a O (presión relativa)
Esta velocidad:
• es igual a la queadquiriría una partícula de fluido al caer desde una altura H.
• Es independiente del peso especifico del fluido.
• Es la velocidad teórica de salida en condiciones ideales
Tubo De Pitot
El tubo de Pitot fue ideado para medir la presión total, también llamada presion de estancamiento (suma de la presión estática y la dinámica).
P1 = Pt = P0 + V20
Pg Pg Pg 2g
Pt : presion total o de estancamiento
P0,V0 : presion y velocidad de la corriente imperturbada
Presion total o de estancamiento: Pt = Pg (l)
Donde: Pt = P0 + P V20
Instrumentación de medida de velocidades.
Entre los instrumentos para medir la velocidad de un fluido, figura el tubo de Prandtl, cuyo fundamento es la ecuación de Bernoulli.
Es una combinación del tubo de Pitot y un tubo piezometrico; el de Pitot mide la presion total, el...