Aplicacion De Derivada
Páginas: 13 (3135 palabras)
Publicado: 13 de junio de 2012
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
Ministerio del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica De La Fuerza Armada
aplicación de derivada
aplicación de derivada
UNEFA-Núcleo Anzoátegui
Profesora: Bachilleres:
San tome, 7 Junio 2012
* Regla de L’Hôspital
La regla de l' Hospital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligencedes lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L' Hospital se utiliza para facilitar el cálculo de límites la cual dice que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si las funciones tienden a cero cuando x tiende ac entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x).
* Enunciado.
La regla de L' Hopital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo ó .
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a, b], y sean f(c)=g(c)=0,con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,
Guillaume de l'Hôpital
* Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una demostración de la regla de L' Hopital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere deargumentos e hipótesis más fuertes para su demostración. Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
* Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:
* Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:
* Ejemplos
La regla de l' Hospital se aplica para salvarindeterminaciones que resultan de remplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
* Aplicación sencilla
* Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse nveces:
* Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas:
* Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:
De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se puedenresolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hopital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.
* Teoremas de Rolle y de Lagrange
* Teorema de Rolle
Michael Rolle (1652-1719)
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0.H) f es continua en [a,b]
f es derivable en (a,b)
f(a)=f(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0
Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.
Demostración:
f es continua en [a,b] => por teo. De Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo...
Ministerio del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica De La Fuerza Armada
aplicación de derivada
aplicación de derivada
UNEFA-Núcleo Anzoátegui
Profesora: Bachilleres:
San tome, 7 Junio 2012
* Regla de L’Hôspital
La regla de l' Hospital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligencedes lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
La regla de L' Hospital se utiliza para facilitar el cálculo de límites la cual dice que dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si las funciones tienden a cero cuando x tiende ac entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x).
* Enunciado.
La regla de L' Hopital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminación del tipo ó .
Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a, b], y sean f(c)=g(c)=0,con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,
Guillaume de l'Hôpital
* Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una demostración de la regla de L' Hopital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere deargumentos e hipótesis más fuertes para su demostración. Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
* Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:
* Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:
* Ejemplos
La regla de l' Hospital se aplica para salvarindeterminaciones que resultan de remplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).
* Aplicación sencilla
* Aplicación consecutiva
Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla puede aplicarse nveces:
* Adaptaciones algebraicas
Dada la utilidad de la regla, resulta práctico transformar otros tipos de indeterminaciones al tipo mediante transformaciones algebraicas:
* Cocientes incompatibles
Las indeterminaciones de tipo se pueden transformar mediante la doble inversión de los cocientes:
De esta forma se puede demostrar que las indeterminaciones de tipo también se puedenresolver por medio de la aplicación de la regla de L'Hopital de forma directa, sin aplicación de la doble inversión.
* Teoremas de Rolle y de Lagrange
* Teorema de Rolle
Michael Rolle (1652-1719)
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0.H) f es continua en [a,b]
f es derivable en (a,b)
f(a)=f(b)
T) Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0
Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.
Demostración:
f es continua en [a,b] => por teo. De Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo...
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